реши 231

Краткий ответ:

а) \(\displaystyle \frac{5x+3y}{4}\);

б) \(\displaystyle \frac{n^2-1}{n}\), \(n\ne0\);

в) \(\displaystyle \frac{a^2-bc}{a+b+c}\), \(a+b+c\ne0\);

г) \(\displaystyle \frac{ab(a-b)}{a+b}\), \(a+b\ne0\).

Решение

Чтобы представить выражение в виде одной дроби, приводим все слагаемые к общему знаменателю.

а)

\[ x+y+\frac{x-y}{4} =\frac{4x+4y+x-y}{4} =\frac{5x+3y}{4}. \]

б)

\[ m+n-\frac{1+mn}{n} =\frac{n(m+n)-(1+mn)}{n} \]

\[ =\frac{mn+n^2-1-mn}{n} =\frac{n^2-1}{n}. \]

в)

\[ a-\frac{ab+ac+bc}{a+b+c} \]

\[ =\frac{a(a+b+c)-(ab+ac+bc)}{a+b+c} \]

\[ =\frac{a^2+ab+ac-ab-ac-bc}{a+b+c} =\frac{a^2-bc}{a+b+c}. \]

г)

\[ a^2-b^2-\frac{a^3-b^3}{a+b} \]

\[ =\frac{(a^2-b^2)(a+b)-(a^3-b^3)}{a+b}. \]

Раскроем скобки:

\[ \frac{a^3+a^2b-ab^2-b^3-a^3+b^3}{a+b} =\frac{a^2b-ab^2}{a+b} =\frac{ab(a-b)}{a+b}. \]

Проверка выполняется обратным раскрытием скобок: получаются исходные выражения.