Реши

Краткий ответ

1) Тетраэдр \(NKPR\)

Построение: изобразите треугольник \(NKR\), точку \(P\) вне его плоскости и соедините \(P\) с \(N\), \(K\), \(R\).

1. Вершины: \(N, K, P, R\).
2. Рёбра: \(NK, NP, NR, KP, KR, PR\).
3. Грани: \(NKR, NKP, PNR, KPR\).
4. Грань, не содержащая \(P\): \(NKR\).
5. Общее ребро граней \(NKR\) и \(PNR\): \(NR\).
6. Ребро, противоположное \(PK\): \(NR\).
7. Прямая, скрещивающаяся с \(PR\): \(NK\).

2)

\(6\) — это число рёбер тетраэдра, ответ: б).

3)

Грани параллелепипеда — параллелограммы.

4)

Неверное предложение: б)
Противоположные вершины параллелепипеда не принадлежат одной грани.

5) Параллелепипед \(ABCDA_1B_1C_1D_1\)

1. \(C_1E\) и \(A_1D_1\) — пересекающиеся прямые.
2. \(AA_1\) и \(C_1E\) — скрещивающиеся прямые.
3. \(BB_1\) и \(CC_1\) — параллельные прямые.
4. Грань, противоположная \(CC_1D_1D\):
   \[ AA_1B_1B. \]
5. Рёбра, равные ребру \(BC\):
   \[ AD,\quad A_1D_1,\quad B_1C_1. \]
6. Вершина, противоположная вершине \(A\):
   \[ C_1. \]

Ключевые доводы

• В тетраэдре \(4\) вершины, \(6\) рёбер и \(4\) треугольные грани.
• Противоположные рёбра тетраэдра не имеют общих вершин: поэтому рёбрам \(PK\) и \(PR\) противопоставляются соответственно \(NR\) и \(NK\).
• Прямые \(C_1E\) и \(A_1D_1\) лежат в одной грани параллелепипеда, не параллельны, значит, пересекаются. Их отрезки могут не пересекаться, но сами прямые пересекаются.
• Прямые \(AA_1\) и \(C_1E\) не пересекаются и не параллельны, поэтому они скрещивающиеся.
• Противоположные рёбра параллелепипеда параллельны и равны.

Проверка: в ответах для тетраэдра получилось \(4\) вершины, \(6\) рёбер и \(4\) грани — всё верно.