Реши всё
Краткие ответы
3.
а) \(\dfrac{4-3y}{2}\);
б) \(3a\);
в) \(\dfrac{2y}{c}\);
г) \(\dfrac{15b}{2}\).
4.
а) \(a^2-b\);
б) \(5d^4-2c^3\);
в) \(a+b\);
г) \(\dfrac{1}{c^2+2c+4}\).
5а. \(\boxed{-\dfrac{3}{10}}\).
Решение
Главное правило: сначала разложить числитель и знаменатель на множители, затем сократить только одинаковые множители, а не отдельные слагаемые.
3. Разложение на множители и сокращение
а)
\[
\frac{4x-3xy}{2x}
=\frac{x(4-3y)}{2x}
=\frac{4-3y}{2}.
\]
б)
\[
\frac{3a+6a^2}{2a+1}
=\frac{3a(1+2a)}{2a+1}
=\frac{3a(2a+1)}{2a+1}
=3a.
\]
в)
\[
\frac{2y(c+6d)}{c^2+6cd}
=\frac{2y(c+6d)}{c(c+6d)}
=\frac{2y}{c}.
\]
г)
\[
\frac{15b^2-30bc}{2(b-2c)}
=\frac{15b(b-2c)}{2(b-2c)}
=\frac{15b}{2}.
\]
4. Сокращение дробей
а) Используем разность квадратов: \[ a^4-b^2=(a^2-b)(a^2+b). \] Тогда \[ \frac{a^4-b^2}{a^2+b} =\frac{(a^2-b)(a^2+b)}{a^2+b} =a^2-b. \]
б)
\[
4c^6-25d^8=(2c^3)^2-(5d^4)^2
=(2c^3-5d^4)(2c^3+5d^4).
\]
Знаменатель:
\[
-2c^3-5d^4=-(2c^3+5d^4).
\]
Поэтому
\[
\frac{4c^6-25d^8}{-2c^3-5d^4}
=
\frac{(2c^3-5d^4)(2c^3+5d^4)}
{-(2c^3+5d^4)}
=-(2c^3-5d^4)
=5d^4-2c^3.
\]
в) Используем сумму кубов: \[ a^3+b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2). \] Тогда \[ \frac{a^3+b^3}{a^2-ab+b^2} = \frac{(a+b)(a^2-ab+b^2)} {a^2-ab+b^2} =a+b. \]
г) Используем разность кубов: \[ c^3-8=c^3-2^3=(c-2)(c^2+2c+4). \] Следовательно, \[ \frac{c-2}{c^3-8} = \frac{c-2}{(c-2)(c^2+2c+4)} = \frac{1}{c^2+2c+4}. \]
5а. Найдём значение дроби
Сначала сократим дробь: \[ \frac{6a^3-12a^2b}{5a^2b-10ab^2} = \frac{6a^2(a-2b)}{5ab(a-2b)} = \frac{6a}{5b}. \]
Подставим \(a=-1\), \(b=4\): \[ \frac{6a}{5b} =\frac{6\cdot(-1)}{5\cdot4} =-\frac{6}{20} =-\frac{3}{10}. \]
Проверка подстановкой в исходную дробь: \[ \frac{6(-1)^3-12(-1)^2\cdot4} {5(-1)^2\cdot4-10(-1)\cdot4^2} = \frac{-54}{180} =-\frac{3}{10}. \]
