Реши задачу самым простым способом с подробным объяснением

Пусть длина каждого катета

\[ a=82+41\sqrt2. \]

В равнобедренном прямоугольном треугольнике гипотенуза равна

\[ c=a\sqrt2. \]

Радиус вписанной окружности в прямоугольный треугольник вычисляется по формуле:

\[ r=\frac{a+b-c}{2}. \]

Так как катеты равны, \(b=a\), поэтому

\[ r=\frac{2a-a\sqrt2}{2} =\frac{a(2-\sqrt2)}{2}. \]

Подставим \(a=82+41\sqrt2=41(2+\sqrt2)\):

\[ r=\frac{41(2+\sqrt2)(2-\sqrt2)}{2}. \]

Используем разность квадратов:

\[ (2+\sqrt2)(2-\sqrt2)=4-2=2. \]

Тогда

\[ r=\frac{41\cdot 2}{2}=41. \]

Ответ: \(\boxed{41}\).

Так как \(\angle C=90^\circ\), \(AB\) — гипотенуза, а \(CH\) — высота к гипотенузе.

1. Найдём \(CH\)

В прямоугольном треугольнике \(BCH\):

\[ CH^2=BC^2-BH^2. \]

Подставим данные:

\[ CH^2=(4\sqrt5)^2-4^2=80-16=64, \]

\[ CH=8. \]

2. Найдём \(AH\)

Используем свойство высоты, проведённой к гипотенузе:

\[ BC^2=BH\cdot AB. \]

Тогда

\[ AB=\frac{BC^2}{BH}=\frac{80}{4}=20. \]

Следовательно,

\[ AH=AB-BH=20-4=16. \]

3. Найдём \(\tg A\)

В прямоугольном треугольнике \(ACH\):

\[ \tg A=\frac{CH}{AH}. \]

Поэтому

\[ \tg A=\frac{8}{16}=\frac12. \]

\[ \boxed{\tg A=\frac12} \]