Реши задание на изображении

Краткий ответ:

1. Для \(M(3;-1;2)\) расстояние до плоскости через точки
   \(A(1;0;1)\), \(B(2;1;3)\), \(C(0;-1;2)\):

\[ \boxed{d=\frac{3\sqrt2}{2}} \]

2. Для \(P(2;3;-1)\) и плоскости
   \[ 2x-3y+6z+4=0: \]

\[ \boxed{d=1} \]

1. Первое задание

Найдём направляющие векторы:

\[ \overrightarrow{AB}=(2-1;\,1-0;\,3-1)=(1;1;2), \]

\[ \overrightarrow{AC}=(0-1;\,-1-0;\,2-1)=(-1;-1;1). \]

Вектор нормали к плоскости можно взять:

\[ \vec n=\overrightarrow{AB}\times\overrightarrow{AC}=(3;-3;0)\sim(1;-1;0). \]

Поэтому уравнение плоскости имеет вид:

\[ x-y+D=0. \]

Подставим точку \(A(1;0;1)\):

\[ 1-0+D=0 \quad\Rightarrow\quad D=-1. \]

Значит, уравнение плоскости:

\[ x-y-1=0. \]

Проверка:

\[ 2-1-1=0,\qquad 0-(-1)-1=0, \]

то есть точки \(B\) и \(C\) действительно лежат на плоскости.

Расстояние от точки \(M(x_0;y_0;z_0)\) до плоскости
\(Ax+By+Cz+D=0\) вычисляется по формуле:

\[ d=\frac{|Ax_0+By_0+Cz_0+D|} {\sqrt{A^2+B^2+C^2}}. \]

Подставим \(M(3;-1;2)\):

\[ d=\frac{|3-(-1)-1|}{\sqrt{1^2+(-1)^2+0^2}} =\frac{3}{\sqrt2} =\frac{3\sqrt2}{2}. \]

2. Второе задание

\[ d=\frac{|2\cdot2-3\cdot3+6\cdot(-1)+4|} {\sqrt{2^2+(-3)^2+6^2}}. \]

\[ d=\frac{|4-9-6+4|}{\sqrt{4+9+36}} =\frac{|-7|}{7} =1. \]