обучи меня векторам

Кратко: вектор — это направленный отрезок, у которого есть длина и направление. В координатах с векторами удобно работать почти как с парами чисел.

1. Что такое вектор

Вектор из точки \(A\) в точку \(B\) обозначают:

\[ \overrightarrow{AB} \]

• \(A\) — начало вектора;
• \(B\) — конец вектора;
• длина вектора — \(\left|\overrightarrow{AB}\right|\).

Векторы равны, если у них одинаковые длина и направление.
Противоположные векторы имеют одинаковую длину, но направлены в разные стороны.

---

2. Координаты вектора

Если

\[ A(x_1;y_1), \qquad B(x_2;y_2), \]

то

\[ \overrightarrow{AB}=(x_2-x_1;\ y_2-y_1). \]

Важно: из координат конца вычитаем координаты начала.

Пример

\[ A(1;2), \qquad B(4;6). \]

Тогда

\[ \overrightarrow{AB}=(4-1;\ 6-2)=(3;4). \]

Это означает: чтобы попасть из \(A\) в \(B\), нужно пройти на \(3\) вправо и на \(4\) вверх.

---

3. Длина вектора

Если

\[ \vec a=(x;y), \]

то его длина находится по теореме Пифагора:

\[ |\vec a|=\sqrt{x^2+y^2}. \]

Для \(\overrightarrow{AB}=(3;4)\):

\[ |\overrightarrow{AB}|=\sqrt{3^2+4^2} =\sqrt{9+16} =\sqrt{25}=5. \]

Проверка: координаты \(3\) и \(4\) образуют известную тройку \(3-4-5\).

---

4. Сложение и вычитание векторов

Пусть

\[ \vec a=(a_1;a_2), \qquad \vec b=(b_1;b_2). \]

Тогда координаты складываются и вычитаются по отдельности:

\[ \vec a+\vec b=(a_1+b_1;\ a_2+b_2), \]

\[ \vec a-\vec b=(a_1-b_1;\ a_2-b_2). \]

Пример

\[ \vec a=(2;-1), \qquad \vec b=(-3;4). \]

Тогда

\[ \vec a+\vec b=(2+(-3);\ -1+4)=(-1;3), \]

\[ \vec a-\vec b=(2-(-3);\ -1-4)=(5;-5). \]

---

5. Умножение вектора на число

При умножении на число умножаем каждую координату:

\[ k\vec a=(ka_1;\ ka_2). \]

Например,

\[ 3(2;-1)=(6;-3). \]

Если \(k<0\), направление вектора меняется на противоположное.

---

6. Как узнать, коллинеарны ли векторы

Векторы коллинеарны, если лежат на параллельных или одной прямой. Для

\[ \vec a=(a_1;a_2), \qquad \vec b=(b_1;b_2) \]

проверяем:

\[ a_1b_2-a_2b_1=0. \]

Пример

\[ \vec a=(2;3), \qquad \vec b=(-4;-6). \]

\[ 2\cdot(-6)-3\cdot(-4)=-12+12=0. \]

Значит, векторы коллинеарны. Действительно,

\[ \vec b=-2\vec a. \]

---

7. Перпендикулярность векторов

Векторы

\[ \vec a=(a_1;a_2), \qquad \vec b=(b_1;b_2) \]

перпендикулярны, если их скалярное произведение равно нулю:

\[ \vec a\cdot\vec b=a_1b_1+a_2b_2=0. \]

Пример

\[ \vec a=(2;-1), \qquad \vec b=(1;2). \]

\[ \vec a\cdot\vec b=2\cdot1+(-1)\cdot2=2-2=0. \]

Следовательно, векторы перпендикулярны.

---

Универсальный алгоритм решения

Если дана задача с координатами векторов:

1. Найди координаты вектора по формуле
   \[ \overrightarrow{AB}=(x_B-x_A;\ y_B-y_A). \]
2. Выполни действия с координатами.
3. Если нужна длина, используй
   \[ |\vec a|=\sqrt{x^2+y^2}. \]
4. Для проверки:
   • коллинеарность: \(a_1b_2-a_2b_1=0\);
   • перпендикулярность: \(a_1b_1+a_2b_2=0\).

Мини-пример

Даны \(A(-2;1)\) и \(B(3;-5)\). Найдём \(\overrightarrow{AB}\):

\[ \overrightarrow{AB}=(3-(-2);\ -5-1)=(5;-6). \]

Длина:

\[ |\overrightarrow{AB}|=\sqrt{5^2+(-6)^2} =\sqrt{25+36} =\sqrt{61}. \]

Главное правило: вектор из \(A\) в \(B\) — это “конец минус начало”.