Конспект по теме: Действия над положительными и отрицательными числами, с обыкновенными и десятичными дробями.
Краткий ответ
Главный принцип: при сложении и вычитании сначала разбираемся со знаками, а при умножении и делении — отдельно определяем знак и считаем модули.
- Одинаковые знаки при сложении: модули складываем, знак сохраняем.
- Разные знаки при сложении: из большего модуля вычитаем меньший, ставим знак большего модуля.
- Вычитание: заменяем сложением противоположного числа.
- Умножение и деление: одинаковые знаки дают «+», разные — «−».
Конспект
1. Модуль числа
Модуль числа — это расстояние от числа до нуля:
\[ |5|=5,\qquad |-5|=5 \]
Модуль всегда неотрицателен.
2. Сложение чисел с разными знаками
Одинаковые знаки
Модули складываем, знак сохраняем:
\[ (+3)+(+7)=+10 \]
\[ (-3)+(-7)=-10 \]
Разные знаки
Из большего модуля вычитаем меньший, а результату ставим знак числа с большим модулем:
\[ (-8)+(+3)=-(8-3)=-5 \]
\[ (+8)+(-3)=+(8-3)=5 \]
С дробями
Сначала приводим дроби к общему знаменателю:
\[ -\frac56+\frac13 = -\frac56+\frac26 = -\frac36 = -\frac12 \]
3. Вычитание
Вычитание заменяем сложением противоположного числа:
\[ a-b=a+(-b) \]
Примеры
\[ 7-(-2)=7+2=9 \]
\[ -4-3=-4+(-3)=-7 \]
\[ \frac34-\left(-\frac58\right) = \frac34+\frac58 = \frac68+\frac58 = \frac{11}{8} \]
Запомни:
- минус перед положительным числом остаётся минусом;
- минус перед отрицательным числом превращается в плюс.
4. Умножение
Сначала перемножаем модули, затем определяем знак:
| Знаки множителей | Знак результата |
|---|---|
| \(+\) и \(+\) | \(+\) |
| \(-\) и \(-\) | \(+\) |
| \(+\) и \(-\) | \(-\) |
| \(-\) и \(+\) | \(-\) |
Примеры
\[ (-6)\cdot(-4)=24 \]
\[ (-6)\cdot4=-24 \]
С дробями:
\[ -\frac35\cdot\frac{10}{9} = -\frac{30}{45} = -\frac23 \]
При умножении дробей можно сначала сокращать множители:
\[ \frac{3}{10}\cdot\frac{5}{6} = \frac{1}{2}\cdot\frac{1}{2} = \frac14 \]
5. Деление
Правило знаков такое же, как при умножении:
- одинаковые знаки дают плюс;
- разные знаки дают минус.
На ноль делить нельзя:
\[ \frac{5}{0} \]
не имеет смысла.
Примеры
\[ (-18):(-3)=6 \]
\[ 18:(-3)=-6 \]
Чтобы разделить дроби, нужно умножить первую дробь на дробь, обратную второй:
\[ -\frac78:\frac{14}{3} = -\frac78\cdot\frac{3}{14} = -\frac{21}{112} = -\frac{3}{16} \]
6. Действия с десятичными дробями
Сложение и вычитание
Записываем числа так, чтобы запятые находились друг под другом. При необходимости дописываем нули:
\[ 12,5-3,78 = 12,50-3,78 = 8,72 \]
Пример с отрицательными числами:
\[ -2,7+4,1=1,4 \]
Умножение
Сначала умножаем числа, не обращая внимания на запятые. Затем отделяем столько знаков после запятой, сколько их было в обоих множителях вместе:
\[ 1,2\cdot0,35=0,42 \]
В множителях всего три цифры после запятой? В \(1,2\) — одна, в \(0,35\) — две. Всего:
\[ 1+2=3 \]
Но произведение целых чисел \(12\cdot35=420\), поэтому после отделения трёх цифр получаем \(0,420=0,42\).
Деление
Если делитель десятичный, переносим запятую вправо в делимом и делителе на одинаковое количество цифр:
\[ 4,56:0,12=456:12=38 \]
Знак определяем отдельно:
\[ -4,56:0,12=-38 \]
7. Порядок действий
- Действия в скобках.
- Умножение и деление слева направо.
- Сложение и вычитание слева направо.
Пример:
\[ -2+3\cdot(-4) \]
Сначала умножение:
\[ 3\cdot(-4)=-12 \]
Затем сложение:
\[ -2+(-12)=-14 \]
8. Как проверить результат
Проверь знак.
При умножении двух отрицательных чисел результат должен быть положительным.Оцени величину.
Например, \(4,8:0,6\) примерно равно \(8\), значит ответ \(80\) был бы слишком большим.Используй обратное действие.
Если:
\[ 12-5=7, \]
то проверка:
\[ 7+5=12. \]
Если:
\[ \frac23\cdot\frac94=\frac32, \]
то можно проверить делением:
\[ \frac32:\frac94=\frac32\cdot\frac49=\frac23. \]
Главное правило
Не смешивай два этапа:
- определить знак результата;
- выполнить действие с модулями чисел.
