4.3,4.4,4.6,4.7,4.9

Разберём по правилам. Здесь используются три основные формулы:

\[ \sqrt{a^2}=|a|, \]

\[ (A+B)^2=A^2+2AB+B^2, \]

\[ (A-B)(A+B)=A^2-B^2. \]

Также нужно выносить полный квадрат из-под корня:

\[ \sqrt{27}=3\sqrt3,\quad \sqrt{12}=2\sqrt3,\quad \sqrt{75}=5\sqrt3,\quad \sqrt{48}=4\sqrt3. \]

4.3

1)

\[ \sqrt{(-3)^6} =\sqrt{\left((-3)^3\right)^2} =|(-3)^3| =|-27|=27. \]

2)

\[ \sqrt{2^2\cdot(-8)^2} =\sqrt{(2\cdot(-8))^2} =|-16|=16. \]

3)

\[ -3\sqrt{(-12)^4} =-3\sqrt{\left((-12)^2\right)^2} =-3\cdot144=-432. \]

4)

\[ -\sqrt{5^2\cdot14^4} =-\sqrt{(5\cdot14^2)^2} =-5\cdot196=-980. \]

---

4.4

Так как все выражения положительные, сравним их квадраты.

1)

\[ (2\sqrt3)^2=12,\qquad (3\sqrt2)^2=18. \]

Так как \(12<18\), то

\[ \boxed{2\sqrt3<3\sqrt2}. \]

2)

\[ (2\sqrt5)^2=20,\qquad (3\sqrt2)^2=18. \]

Значит,

\[ \boxed{2\sqrt5>3\sqrt2}. \]

3)

\[ (\sqrt{23})^2=23,\qquad (2\sqrt6)^2=24. \]

Следовательно,

\[ \boxed{\sqrt{23}<2\sqrt6}. \]

4)

\[ \left(\frac23\sqrt{72}\right)^2 =\frac49\cdot72=32, \]

\[ \left(\frac13\sqrt{\frac23}\right)^2 =\frac19\cdot\frac23=\frac{2}{27}. \]

Так как \(32>\frac{2}{27}\), получаем

\[ \boxed{\frac23\sqrt{72}> \frac13\sqrt{\frac23}}. \]

---

4.6

Сначала упрощаем корни:

\[ \sqrt{27}=3\sqrt3,\quad \sqrt{12}=2\sqrt3,\quad \sqrt{75}=5\sqrt3,\quad \sqrt8=2\sqrt2,\quad \sqrt{48}=4\sqrt3. \]

1)

\[ \sqrt3(2\sqrt{27}-\sqrt{12})-\sqrt{75} \]

\[ =\sqrt3(2\cdot3\sqrt3-2\sqrt3)-5\sqrt3 \]

\[ =\sqrt3(4\sqrt3)-5\sqrt3 =12-5\sqrt3. \]

2)

\[ \sqrt{75}-2\sqrt3(3-6\sqrt{12})+14 \]

\[ =5\sqrt3-2\sqrt3(3-12\sqrt3)+14 \]

\[ =5\sqrt3-6\sqrt3+72+14 =86-\sqrt3. \]

3)

Используем формулу разности квадратов:

\[ (3\sqrt5-\sqrt8)(\sqrt8+3\sqrt5) =(3\sqrt5)^2-(\sqrt8)^2. \]

Тогда

\[ 45-8+\sqrt{48}=37+4\sqrt3. \]

4)

\[ (5\sqrt5-\sqrt{12})(2-\sqrt5)+7\sqrt3 \]

\[ =(5\sqrt5-2\sqrt3)(2-\sqrt5)+7\sqrt3. \]

Раскрываем скобки:

\[ 10\sqrt5-25-4\sqrt3+2\sqrt{15}+7\sqrt3. \]

Приводим подобные слагаемые:

\[ \boxed{-25+10\sqrt5+3\sqrt3+2\sqrt{15}}. \]

---

4.7

1)

Используем формулу квадрата суммы:

\[ (x+\sqrt y)^2 =x^2+2x\sqrt y+(\sqrt y)^2. \]

Так как \((\sqrt y)^2=y\), получаем

\[ \boxed{x^2+2x\sqrt y+y}. \]

2)

\[ (\sqrt x+\sqrt{xy})^2 =x+2\sqrt x\sqrt{xy}+xy. \]

\[ \sqrt x\sqrt{xy} =\sqrt{x^2y}=x\sqrt y. \]

Поэтому

\[ \boxed{x+2x\sqrt y+xy}. \]

3)

Используем квадрат разности:

\[ (3\sqrt6-2\sqrt3)^2 =(3\sqrt6)^2-2\cdot3\sqrt6\cdot2\sqrt3+(2\sqrt3)^2. \]

\[ =54-12\sqrt{18}+12. \]

Так как \(\sqrt{18}=3\sqrt2\), то

\[ 54-36\sqrt2+12 =\boxed{66-36\sqrt2}. \]

4)

Сначала вычитаем подобные слагаемые:

\[ (4\sqrt5-7\sqrt5)^2 =(-3\sqrt5)^2 =9\cdot5=\boxed{45}. \]

---

4.9

Во всех примерах применяем формулу:

\[ (A-B)(A+B)=A^2-B^2. \]

1)

\[ (2-\sqrt a)(2+\sqrt a)-4 =2^2-(\sqrt a)^2-4 \]

\[ =4-a-4=\boxed{-a}. \]

2)

\[ (3-\sqrt{2a})(3+\sqrt{2a})+4a =3^2-(\sqrt{2a})^2+4a \]

\[ =9-2a+4a=\boxed{9+2a}. \]

3)

\[ (2\sqrt3-3\sqrt a)(2\sqrt3+3\sqrt a) \]

\[ =(2\sqrt3)^2-(3\sqrt a)^2 =12-9a. \]

Ответ:

\[ \boxed{12-9a}. \]

4)

\[ (2\sqrt7-\sqrt{7a})(2\sqrt7+\sqrt{7a}) \]

\[ =(2\sqrt7)^2-(\sqrt{7a})^2 =28-7a. \]

Ответ:

\[ \boxed{28-7a}. \]

Главная идея: в заданиях 4.3 извлекаем квадратный корень, в 4.4 сравниваем квадраты, в 4.6 упрощаем корни, в 4.7 раскрываем квадрат, а в 4.9 применяем разность квадратов.

Если имеется в виду выражение

\[ 5\sqrt3-2\sqrt4, \]

сначала вычисляем корень из \(4\):

\[ \sqrt4=2. \]

Тогда:

\[ 5\sqrt3-2\cdot2=5\sqrt3-4. \]

Ответ:

\[ \boxed{5\sqrt3-4}. \]

Слагаемые \(5\sqrt3\) и \(4\) нельзя объединить, потому что они разные.

Тогда выражение:

\[ 5\sqrt3-2\sqrt3. \]

Корни одинаковые, поэтому вычитаем только коэффициенты:

\[ (5-2)\sqrt3=3\sqrt3. \]

Ответ:

\[ \boxed{3\sqrt3}. \]