7.1

Краткий ответ:

1. \(6a^2\);
2. \(4a^8\);
3. \(4c^{-6}=\dfrac{4}{c^6}\);
4. \(\dfrac{2b^2}{243}\).

Используем свойства степеней:

\[ x^m\cdot x^n=x^{m+n},\qquad x^m:x^n=x^{m-n},\qquad (x^m)^n=x^{mn}. \]

1. \[ 2a^{-2}\cdot3a^4 =6a^{-2+4} =\boxed{6a^2}. \]

2. \[ 24a^5:(6a^{-3}) =\frac{24}{6}a^{5-(-3)} =4a^8. \]

\[ \boxed{4a^8} \]

3. \[ (2c^{-3})^2 =2^2(c^{-3})^2 =4c^{-6} =\boxed{\frac4{c^6}}. \]

4. \[ \begin{aligned} 2(3^{-3}b^3)^2\cdot3b^{-4} &=2\cdot3^{-6}b^6\cdot3b^{-4}\\ &=2\cdot3^{-5}b^{6-4}\\ &=\frac{2b^2}{3^5} =\boxed{\frac{2b^2}{243}}. \end{aligned} \]

Проверка: при делении показатели вычитаются, поэтому \(5-(-3)=8\), а в последнем выражении \(6-4=2\). Отрицательная степень означает обратное число: \(3^{-5}=\frac1{243}\).