Задали выучить теорему синусов и косинусов, поможешь?
Краткий ответ
Для треугольника \(ABC\) обозначим стороны так:
- \(a=BC\) — напротив угла \(A\);
- \(b=CA\) — напротив угла \(B\);
- \(c=AB\) — напротив угла \(C\).
Теорема синусов
\[ \frac{a}{\sin A}=\frac{b}{\sin B}=\frac{c}{\sin C}=2R, \]
где \(R\) — радиус описанной окружности.
Смысл: сторона тем больше, чем больше противолежащий ей угол.
Теорему синусов удобно применять, когда известна хотя бы одна пара «сторона и противоположный угол».
Например, если \(b=6\), \(B=30^\circ\), \(A=45^\circ\), то
\[ \frac{a}{\sin45^\circ}=\frac{6}{\sin30^\circ}, \]
\[ a=\frac{6\sin45^\circ}{\sin30^\circ} =\frac{6\cdot \frac{\sqrt2}{2}}{\frac12} =6\sqrt2\approx 8{,}49. \]
Теорема косинусов
\[ a^2=b^2+c^2-2bc\cos A. \]
Аналогично:
\[ b^2=a^2+c^2-2ac\cos B, \]
\[ c^2=a^2+b^2-2ab\cos C. \]
Смысл: квадрат стороны равен сумме квадратов двух других сторон с поправкой на угол между ними.
Теорему косинусов удобно применять:
- если известны две стороны и угол между ними;
- если известны три стороны и нужно найти угол.
Например, \(b=3\), \(c=4\), \(A=60^\circ\):
\[ a^2=3^2+4^2-2\cdot3\cdot4\cos60^\circ, \]
\[ a^2=9+16-24\cdot\frac12=13, \]
\[ a=\sqrt{13}\approx3{,}61. \]
Как запомнить разницу
- Синусы связывают сторону с противоположным углом.
- Косинусы используют две стороны и угол между ними.
- При \(A=90^\circ\) теорема косинусов превращается в теорему Пифагора:
\[ a^2=b^2+c^2, \]
потому что \(\cos90^\circ=0\).
Как проверить ответ
- Сторона, лежащая напротив большего угла, должна быть больше.
- Должно выполняться неравенство треугольника: сумма любых двух сторон больше третьей.
- Углы треугольника в сумме дают \(180^\circ\).
- На калькуляторе проверь, что выбран режим градусов, а не радиан.
