По формуле и решение полностью
\[ \sin x\cos y=\frac{\sin(x+y)+\sin(x-y)}2,\quad \sin x\sin y=\frac{\cos(x-y)-\cos(x+y)}2, \] \[ \cos x\cos y=\frac{\cos(x-y)+\cos(x+y)}2. \]
а)
\[
\sin40^\circ\cos20^\circ+\sin20^\circ\sin50^\circ
=\frac{\sin60^\circ+\sin20^\circ+\cos30^\circ-\cos70^\circ}{2}
=\sin60^\circ=\frac{\sqrt3}{2}.
\]
\[ \cos25^\circ\cos20^\circ-\cos70^\circ\cos65^\circ =\frac{\cos45^\circ-\cos135^\circ}{2} =\frac{\sqrt2}{2}. \]
\[ \boxed{\frac{\sqrt3/2}{\sqrt2/2}=\frac{\sqrt6}{2}} \]
б)
\[
\cos65^\circ\cos40^\circ-\cos25^\circ\sin40^\circ
=\sin25^\circ\cos40^\circ-\cos25^\circ\sin40^\circ
=-\sin15^\circ.
\]
\[ \sin37^\circ\cos22^\circ-\sin53^\circ\cos68^\circ =\frac{\sin59^\circ+\sin15^\circ-\sin121^\circ+\sin15^\circ}{2} =\sin15^\circ. \]
\[ \boxed{-1} \]
Обсуждение
2 сообщенияПо этим формулам одним из них
Понял. Решим по формулам с фотографии — преобразуем произведение в сумму:
\[ \sin a\cos b=\frac{\sin(a+b)+\sin(a-b)}2, \]
\[ \sin a\sin b=\frac{\cos(a-b)-\cos(a+b)}2, \]
\[ \cos a\cos b=\frac{\cos(a-b)+\cos(a+b)}2. \]
а)
\[ \frac{\sin40^\circ\cos20^\circ+\sin20^\circ\sin50^\circ} {\cos25^\circ\cos20^\circ-\cos70^\circ\cos65^\circ} \]
Числитель:
\[ \sin40^\circ\cos20^\circ =\frac{\sin60^\circ+\sin20^\circ}{2}, \]
\[ \sin20^\circ\sin50^\circ =\frac{\cos(-30^\circ)-\cos70^\circ}{2} =\frac{\cos30^\circ-\cos70^\circ}{2}. \]
Тогда
\[ \begin{aligned} &\sin40^\circ\cos20^\circ+\sin20^\circ\sin50^\circ\\ &=\frac{\sin60^\circ+\sin20^\circ+\cos30^\circ-\cos70^\circ}{2}. \end{aligned} \]
Так как
\[ \cos30^\circ=\sin60^\circ,\qquad \cos70^\circ=\sin20^\circ, \]
получаем:
\[ =\frac{2\sin60^\circ}{2} =\sin60^\circ=\frac{\sqrt3}{2}. \]
Знаменатель:
\[ \cos25^\circ\cos20^\circ =\frac{\cos5^\circ+\cos45^\circ}{2}, \]
\[ \cos70^\circ\cos65^\circ =\frac{\cos5^\circ+\cos135^\circ}{2}. \]
Следовательно,
\[ \begin{aligned} &\cos25^\circ\cos20^\circ-\cos70^\circ\cos65^\circ\\ &=\frac{\cos45^\circ-\cos135^\circ}{2}\\ &=\frac{\frac{\sqrt2}{2}-\left(-\frac{\sqrt2}{2}\right)}2 =\frac{\sqrt2}{2}. \end{aligned} \]
Итак,
\[ \frac{\frac{\sqrt3}{2}}{\frac{\sqrt2}{2}} =\frac{\sqrt3}{\sqrt2} =\boxed{\frac{\sqrt6}{2}}. \]
б)
\[ \frac{\cos65^\circ\cos40^\circ-\cos25^\circ\sin40^\circ} {\sin37^\circ\cos22^\circ-\sin53^\circ\cos68^\circ} \]
Числитель:
\[ \cos65^\circ\cos40^\circ =\frac{\cos25^\circ+\cos105^\circ}{2}, \]
\[ \cos25^\circ\sin40^\circ =\frac{\sin65^\circ+\sin15^\circ}{2}. \]
Тогда
\[ \begin{aligned} &\cos65^\circ\cos40^\circ-\cos25^\circ\sin40^\circ\\ &=\frac{\cos25^\circ+\cos105^\circ-\sin65^\circ-\sin15^\circ}{2}. \end{aligned} \]
Учитывая, что
\[ \cos105^\circ=-\sin15^\circ,\qquad \sin65^\circ=\cos25^\circ, \]
получаем:
\[ =\frac{-2\sin15^\circ}{2}=-\sin15^\circ. \]
Знаменатель:
\[ \sin37^\circ\cos22^\circ =\frac{\sin59^\circ+\sin15^\circ}{2}, \]
\[ \sin53^\circ\cos68^\circ =\frac{\sin121^\circ+\sin(-15^\circ)}{2} =\frac{\sin121^\circ-\sin15^\circ}{2}. \]
Следовательно,
\[ \begin{aligned} &\sin37^\circ\cos22^\circ-\sin53^\circ\cos68^\circ\\ &=\frac{\sin59^\circ+\sin15^\circ-\sin121^\circ+\sin15^\circ}{2}. \end{aligned} \]
Так как
\[ \sin121^\circ=\sin59^\circ, \]
то
\[ =\frac{2\sin15^\circ}{2}=\sin15^\circ. \]
Итог:
\[ \frac{-\sin15^\circ}{\sin15^\circ} =\boxed{-1}. \]
