Реши задачи. Напиши дано, решение и ответ

Краткие ответы

1. \(g \approx 1{,}31\ \text{м/с}^2\).
2. \(v \approx 2{,}24\ \text{м/с}\).
3. Численно решить нельзя: не указана начальная скорость человека.
4. \(\rho \approx 3{,}1\cdot10^3\ \text{кг/м}^3\).
5. \(H=108\ \text{м}\).
6. \(a\approx0{,}39\ \text{м/с}^2\) — если сила направлена вверх под углом \(30^\circ\), \(g=10\ \text{м/с}^2\).

---

1. Вторая космическая скорость

Дано:

\[ v_2=2400\ \text{м/с},\qquad R=2200\ \text{км}=2{,}2\cdot10^6\ \text{м} \]

Найти: \(g\).

Решение:

Вторая космическая скорость определяется формулой:

\[ v_2=\sqrt{2gR} \]

Возведём обе части в квадрат:

\[ v_2^2=2gR \]

Отсюда:

\[ g=\frac{v_2^2}{2R} \]

Подставим значения:

\[ g=\frac{2400^2}{2\cdot2{,}2\cdot10^6} =\frac{5{,}76\cdot10^6}{4{,}4\cdot10^6} \approx1{,}31\ \text{м/с}^2 \]

Ответ:

\[ \boxed{g\approx1{,}31\ \text{м/с}^2} \]

---

2. Скорость груза относительно Земли

Дано:

\[ v_{\text{верт}}=1\ \text{м/с} \]

\[ v_{\text{гор}}=7{,}2\ \text{км/ч} \]

Переведём скорость движения крана:

\[ 7{,}2\ \text{км/ч}=2\ \text{м/с} \]

Найти: \(v\).

Решение:

Вертикальная и горизонтальная скорости направлены перпендикулярно, поэтому скорость груза относительно Земли найдём по теореме Пифагора:

\[ v=\sqrt{v_{\text{гор}}^2+v_{\text{верт}}^2} \]

\[ v=\sqrt{2^2+1^2}=\sqrt5\approx2{,}24\ \text{м/с} \]

Проверка:

Скорость должна быть больше каждой из составляющих: \(2{,}24>2\) и \(2{,}24>1\).

Ответ:

\[ \boxed{v\approx2{,}24\ \text{м/с}} \]

---

3. Сила при столкновении

Дано:

\[ m=70\ \text{кг},\qquad t=0{,}2\ \text{с},\qquad v_1=2\ \text{м/с} \]

Начальная скорость \(v_0\) в условии не указана.

Решение:

Среднюю силу при столкновении можно найти из закона изменения импульса:

\[ F_{\text{ср}}t=m(v_0-v_1) \]

Отсюда:

\[ F_{\text{ср}}=\frac{m(v_0-v_1)}{t} \]

\[ F_{\text{ср}}=\frac{70(v_0-2)}{0{,}2} =350(v_0-2)\ \text{Н} \]

Ответ:

\[ \boxed{\text{Численное значение силы определить нельзя без начальной скорости }v_0.} \]

---

4. Средняя плотность планеты

Дано:

\[ P_{\text{п}}=2P_{\text{э}} \]

\[ T=2\ \text{ч}\ 40\ \text{мин}=9600\ \text{с} \]

\[ G=6{,}67\cdot10^{-11}\ \text{Н}\cdot\text{м}^2/\text{кг}^2 \]

Найти: \(\rho\).

Решение:

Обозначим гравитационное ускорение на поверхности планеты через \(g_0\).

На полюсе центробежная сила отсутствует:

\[ P_{\text{п}}=mg_0 \]

На экваторе:

\[ P_{\text{э}}=m(g_0-\omega^2R) \]

По условию:

\[ mg_0=2m(g_0-\omega^2R) \]

Сократим массу:

\[ g_0=2g_0-2\omega^2R \]

\[ g_0=2\omega^2R \]

Угловая скорость вращения:

\[ \omega=\frac{2\pi}{T} \]

Гравитационное ускорение связано со средней плотностью планеты:

\[ g_0=\frac{GM}{R^2} \]

Так как

\[ M=\frac43\pi R^3\rho, \]

то

\[ g_0=\frac43\pi G\rho R \]

Приравняем:

\[ \frac43\pi G\rho R=2\omega^2R \]

Сократим \(R\):

\[ \rho=\frac{3\omega^2}{2\pi G} \]

Подставим \(\omega=\frac{2\pi}{T}\):

\[ \rho=\frac{6\pi}{GT^2} \]

\[ \rho=\frac{6\pi}{6{,}67\cdot10^{-11}\cdot9600^2} \approx3{,}1\cdot10^3\ \text{кг/м}^3 \]

Ответ:

\[ \boxed{\rho\approx3{,}1\cdot10^3\ \text{кг/м}^3} \]

---

5. Падение тела в воду

Дано:

\[ \rho_{\text{т}}=100\ \text{кг/м}^3 \]

\[ \rho_{\text{в}}=1000\ \text{кг/м}^3 \]

\[ h=12\ \text{м} \]

Найти высоту падения \(H\).

Решение:

Пусть тело падает с высоты \(H\). Перед погружением в воду его кинетическая энергия равна:

\[ E_k=mgH \]

В воде на полностью погружённое тело действуют сила тяжести и архимедова сила:

\[ F_A=\rho_{\text{в}}Vg \]

\[ mg=\rho_{\text{т}}Vg \]

Разность этих сил тормозит тело:

\[ F_A-mg=(\rho_{\text{в}}-\rho_{\text{т}})Vg \]

На глубине \(12\) м тело остановится, поэтому:

\[ mgH=(F_A-mg)h \]

Подставим \(m=\rho_{\text{т}}V\):

\[ \rho_{\text{т}}VgH =(\rho_{\text{в}}-\rho_{\text{т}})Vgh \]

Сократим \(Vg\):

\[ H=\frac{\rho_{\text{в}}-\rho_{\text{т}}}{\rho_{\text{т}}}\,h \]

\[ H=\frac{1000-100}{100}\cdot12 =9\cdot12=108\ \text{м} \]

Ответ:

\[ \boxed{H=108\ \text{м}} \]

---

6. Движение тела с трением

Решим стандартный вариант: сила направлена вверх под углом \(30^\circ\) к горизонту.

Дано:

\[ m=3\ \text{кг},\qquad \mu=0{,}3 \]

\[ F=10\ \text{Н},\qquad \alpha=30^\circ \]

\[ g=10\ \text{м/с}^2 \]

Найти: \(a\).

Решение:

Разложим силу на составляющие:

\[ F_x=F\cos30^\circ \]

\[ F_y=F\sin30^\circ \]

\[ F_x=10\cdot0{,}866\approx8{,}66\ \text{Н} \]

\[ F_y=10\cdot0{,}5=5\ \text{Н} \]

Так как сила направлена вверх, реакция опоры:

\[ N=mg-F_y \]

\[ N=3\cdot10-5=25\ \text{Н} \]

Сила трения:

\[ F_{\text{тр}}=\mu N \]

\[ F_{\text{тр}}=0{,}3\cdot25=7{,}5\ \text{Н} \]

Равнодействующая горизонтальная сила:

\[ F_{\text{рез}}=F_x-F_{\text{тр}} \]

\[ F_{\text{рез}}=8{,}66-7{,}5=1{,}16\ \text{Н} \]

По второму закону Ньютона:

\[ a=\frac{F_{\text{рез}}}{m} \]

\[ a=\frac{1{,}16}{3}\approx0{,}39\ \text{м/с}^2 \]

Ответ:

\[ \boxed{a\approx0{,}39\ \text{м/с}^2} \]

Если сила направлена вниз, результат будет другим.