Производная.

Краткий ответ
По фото:

а) \[ y=\frac1x+4x,\qquad y'=4-\frac1{x^2},\quad x\ne0. \]

б) \[ y=-2\sqrt{x}-\frac1x,\qquad y'=\frac1{x^2}-\frac1{\sqrt{x}},\quad x>0. \]

Ключевые шаги

Используем правила: \[ (x^n)'=nx^{n-1},\qquad (u+v)'=u'+v'. \]

а)

Представим дробь как степень: \[ y=x^{-1}+4x. \]

Тогда: \[ y'=-1\cdot x^{-2}+4 =4-\frac1{x^2}. \]

б)

\[ \sqrt{x}=x^{1/2},\qquad \frac1x=x^{-1}. \]

Поэтому: \[ y=-2x^{1/2}-x^{-1}. \]

Находим производную: \[ y'=-2\cdot\frac12x^{-1/2}-(-1)x^{-2} =-x^{-1/2}+x^{-2}. \]

Возвращаемся к дробям: \[ \boxed{y'=\frac1{x^2}-\frac1{\sqrt{x}}}. \]

Проверка: \((\sqrt{x})'=\frac1{2\sqrt{x}}\), поэтому \((-2\sqrt{x})'=-\frac1{\sqrt{x}}\), а \(\left(-\frac1x\right)'=\frac1{x^2}\).