Реши задание на изображении
Краткие ответы
- \(g \approx 1{,}31\ \text{м/с}^2\).
- \(v \approx 2{,}24\ \text{м/с}\).
- Численно решить нельзя: не указана начальная скорость человека.
- \(\rho \approx 3{,}1\cdot10^3\ \text{кг/м}^3\).
- \(h=108\ \text{м}\).
- \(a\approx0{,}39\ \text{м/с}^2\), если сила направлена вверх под углом \(30^\circ\) к горизонту.
1. Вторая космическая скорость
Формула второй космической скорости:
\[ v_2=\sqrt{2gR}. \]
Отсюда:
\[ g=\frac{v_2^2}{2R}. \]
Переведём радиус:
\[ R=2200\ \text{км}=2{,}2\cdot10^6\ \text{м}. \]
Подставим:
\[ g=\frac{(2400)^2}{2\cdot2{,}2\cdot10^6} \approx1{,}31\ \text{м/с}^2. \]
Проверка:
\[ \sqrt{2\cdot1{,}31\cdot2{,}2\cdot10^6}\approx2400\ \text{м/с}. \]
2. Скорость груза относительно Земли
Скорость крана по рельсам — горизонтальная:
\[ 7{,}2\ \text{км/ч}=\frac{7{,}2}{3{,}6}=2\ \text{м/с}. \]
Скорость подъёма груза — вертикальная:
\[ v_y=1\ \text{м/с}. \]
Эти скорости перпендикулярны, поэтому:
\[ v=\sqrt{v_x^2+v_y^2} =\sqrt{2^2+1^2} =\sqrt5\approx2{,}24\ \text{м/с}. \]
3. Сила при столкновении
Используем формулу средней силы:
\[ F_{\text{ср}}=\frac{m\Delta v}{\Delta t}. \]
Если начальная скорость человека равна \(v_0\), а конечная — \(2\ \text{м/с}\), то:
\[ F_{\text{ср}} =\frac{70(v_0-2)}{0{,}2} =350(v_0-2)\ \text{Н}. \]
В условии не указана начальная скорость \(v_0\), поэтому получить численный ответ невозможно.
4. Средняя плотность планеты
На полюсе центробежной силы нет:
\[ P_{\text{п}}=mg. \]
На экваторе:
\[ P_{\text{э}}=m(g-\omega^2R). \]
По условию:
\[ P_{\text{п}}=2P_{\text{э}}. \]
Тогда:
\[ mg=2m(g-\omega^2R), \]
\[ g=2\omega^2R. \]
Период вращения:
\[ T=2\ \text{ч}\ 40\ \text{мин}=9600\ \text{с}. \]
Угловая скорость:
\[ \omega=\frac{2\pi}{T}. \]
Ускорение свободного падения через среднюю плотность планеты:
\[ g=\frac{4\pi G\rho R}{3}. \]
Приравниваем:
\[ \frac{4\pi G\rho R}{3}=2\omega^2R. \]
После сокращения \(R\):
\[ \rho=\frac{3\omega^2}{2\pi G} =\frac{6\pi}{GT^2}. \]
Подставим \(G=6{,}67\cdot10^{-11}\):
\[ \rho\approx3{,}1\cdot10^3\ \text{кг/м}^3. \]
5. Высота падения тела
Плотность тела:
\[ \rho_{\text{т}}=100\ \text{кг/м}^3, \]
плотность воды:
\[ \rho_{\text{в}}=1000\ \text{кг/м}^3. \]
В воде на тело действуют сила тяжести вниз и архимедова сила вверх. На максимальной глубине скорость тела становится равной нулю:
\[ \rho_{\text{т}}Vgh =(\rho_{\text{в}}-\rho_{\text{т}})VgH. \]
Объём \(V\) и ускорение \(g\) сокращаются:
\[ h=\frac{\rho_{\text{в}}-\rho_{\text{т}}}{\rho_{\text{т}}}H. \]
При \(H=12\ \text{м}\):
\[ h=\frac{1000-100}{100}\cdot12 =9\cdot12 =108\ \text{м}. \]
6. Движение тела по поверхности
Примем, что силу тянут вверх под углом \(30^\circ\), и \(g=10\ \text{м/с}^2\).
Горизонтальная составляющая силы:
\[ F_x=F\cos30^\circ=10\cdot0{,}866=8{,}66\ \text{Н}. \]
Вертикальная составляющая уменьшает силу давления:
\[ F_y=F\sin30^\circ=10\cdot0{,}5=5\ \text{Н}. \]
Сила реакции опоры:
\[ N=mg-F_y=3\cdot10-5=25\ \text{Н}. \]
Сила трения:
\[ F_{\text{тр}}=\mu N=0{,}3\cdot25=7{,}5\ \text{Н}. \]
Равнодействующая:
\[ F_{\text{рез}}=8{,}66-7{,}5=1{,}16\ \text{Н}. \]
Ускорение:
\[ a=\frac{F_{\text{рез}}}{m} =\frac{1{,}16}{3} \approx0{,}39\ \text{м/с}^2. \]
Если сила направлена вниз, результат будет другим.
