Производная

Краткий ответ:

а) \[ y=\frac1x-6x,\qquad y'=-\frac1{x^2}-6,\quad x\ne0. \]

б) \[ y=8\sqrt{x}+\frac1x,\qquad y'=\frac4{\sqrt{x}}-\frac1{x^2},\quad x>0. \]

Решение

Используем правила:

\[ (x^n)'=nx^{n-1},\qquad (kx)'=k. \]

Также представим дробь и корень как степени:

\[ \frac1x=x^{-1},\qquad \sqrt{x}=x^{1/2}. \]

а)

\[ y=x^{-1}-6x \]

\[ y'=-1\cdot x^{-2}-6 =-\frac1{x^2}-6. \]

б)

\[ y=8x^{1/2}+x^{-1} \]

\[ y'=8\cdot\frac12x^{-1/2}-x^{-2} =\frac4{\sqrt{x}}-\frac1{x^2}. \]

Проверка:

\[ \left(\frac1x\right)'=-\frac1{x^2},\qquad (\sqrt{x})'=\frac1{2\sqrt{x}}. \]

Значит, результаты получены верно.