5.34 сделай

Краткий ответ: \[ \boxed{ \begin{cases} 2\text{ корня}, & a<-\dfrac34\ \text{или}\ a>\dfrac34,\\[2mm] 1\text{ корень}, & a=-\dfrac34\ \text{или}\ a=\dfrac34,\\[2mm] 0\text{ корней}, & -\dfrac34<a<\dfrac34. \end{cases}} \]

Решение

Разберём два случая.

1) \(x\ge a\)

Тогда \(|x-a|=x-a\), поэтому \[ x^2+1=x-a. \] Выразим параметр: \[ a=-x^2+x-1 =-\left(x-\frac12\right)^2-\frac34. \]

Эта парабола имеет наибольшее значение \(-\frac34\). Поэтому:

• при \(a<-\frac34\) — 2 значения \(x\);
• при \(a=-\frac34\) — 1 значение \(x\);
• при \(a>-\frac34\) — решений нет.

2) \(x<a\)

Тогда \(|x-a|=a-x\), поэтому \[ x^2+1=a-x. \] Выразим параметр: \[ a=x^2+x+1 =\left(x+\frac12\right)^2+\frac34. \]

Эта парабола имеет наименьшее значение \(\frac34\). Поэтому:

• при \(a<\frac34\) — решений нет;
• при \(a=\frac34\) — 1 решение;
• при \(a>\frac34\) — 2 решения.

Объединяя оба случая, получаем указанную таблицу.

Проверка границ:

• при \(a=-\frac34\): \(x=\frac12\), действительно \[ x^2+1=\frac54=\left|\frac12+\frac34\right|; \]
• при \(a=\frac34\): \(x=-\frac12\), действительно \[ x^2+1=\frac54=\left|-\frac12-\frac34\right|. \]