По какому предмету, классу и экзамену нужны задания 1–5 — например, ОГЭ по математике или ЕГЭ по русскому языку?

Уточни, пожалуйста: какой предмет, класс и экзамен нужны — например, ОГЭ по математике, задания 1–5? Типы и формулы полностью зависят от этого.

ОГЭ по математике, 9 класс: задания 1–5

Задания 1–5 обычно образуют один практико-ориентированный блок: даётся общий текст, таблица, схема, план, график или рисунок, а затем пять вопросов по нему.

Точные числа и порядок типов меняются, поэтому нельзя сказать, что, например, задание 1 всегда только на масштаб. Но все основные способы решения сводятся к следующим типам.

---

1. Чтение таблиц, графиков и схем

В таких заданиях нужно внимательно посмотреть на:

• название таблицы или графика;
• единицы измерения;
• цену одного деления;
• нужный столбец, строку или точку.

Основные действия

Разность:

\[ a-b \]

Сумма:

\[ a+b \]

Во сколько раз одно число больше другого:

\[ \frac{a}{b} \]

На сколько процентов одно число больше другого:

\[ \frac{a-b}{b}\cdot100\% \]

Здесь \(b\) — число, с которым сравнивают.

Среднее арифметическое:

\[ \overline{x}=\frac{x_1+x_2+\dots+x_n}{n} \]

Пример

По таблице в понедельник продали 240 кг продукции, а во вторник — 300 кг.

На сколько процентов больше продали во вторник?

\[ \frac{300-240}{240}\cdot100\%= \frac{60}{240}\cdot100\%=25\% \]

Ответ: \(25\%\).

---

2. Масштаб

Масштаб часто встречается в задачах с планом квартиры, участка, дороги или комнаты.

Если масштаб:

\[ 1:n, \]

это означает, что 1 единица на чертеже соответствует \(n\) таким же единицам в реальности.

Основные формулы

\[ L_{\text{реальное}}=L_{\text{на плане}}\cdot n \]

\[ L_{\text{на плане}}=\frac{L_{\text{реальное}}}{n} \]

Важно привести единицы измерения.

Например:

\[ 4000\text{ см}=40\text{ м}. \]

Масштаб площади

Если масштаб линейный \(1:n\), то площади отличаются в \(n^2\) раз:

\[ S_{\text{реальное}}=S_{\text{на плане}}\cdot n^2. \]

Но удобнее часто сначала найти настоящие длины, а потом вычислить площадь.

Пример

Длина участка на плане равна \(6\) см. Масштаб \(1:500\).

\[ 6\cdot500=3000\text{ см}=30\text{ м}. \]

Ответ: \(30\) м.

---

3. Геометрия: площадь, периметр, объём

Прямоугольник

\[ P=2(a+b) \]

\[ S=ab \]

где \(a\) и \(b\) — длина и ширина.

Квадрат

\[ P=4a \]

\[ S=a^2 \]

Треугольник

\[ S=\frac{ah}{2} \]

где \(a\) — основание, \(h\) — высота.

Параллелограмм

\[ S=ah \]

Трапеция

\[ S=\frac{(a+b)h}{2} \]

Круг

\[ L=2\pi R \]

\[ S=\pi R^2 \]

где \(R\) — радиус, обычно \(\pi\approx3{,}14\).

Прямоугольный параллелепипед

\[ V=abc \]

где \(a,b,c\) — его измерения.

Если на участке есть дом, клумба или бассейн, площадь свободной части находят вычитанием:

\[ S_{\text{свободная}} =S_{\text{общая}}-S_{\text{занятая}}. \]

---

4. Проценты

Найти процент от числа

\[ a\% \text{ от } b=\frac{a}{100}\cdot b \]

Например:

\[ 15\% \text{ от } 800= \frac{15}{100}\cdot800=120. \]

Увеличение на \(p\%\)

\[ A_{\text{новое}}=A\left(1+\frac p{100}\right) \]

Например, увеличить 500 на 20%:

\[ 500\cdot1{,}2=600. \]

Уменьшение на \(p\%\)

\[ A_{\text{новое}}=A\left(1-\frac p{100}\right) \]

Например, уменьшить 800 на 15%:

\[ 800\cdot0{,}85=680. \]

Найти первоначальное число

Если после увеличения на \(p\%\) получили \(B\):

\[ A=\frac{B}{1+\frac p{100}}. \]

Если после уменьшения на \(p\%\) получили \(B\):

\[ A=\frac{B}{1-\frac p{100}}. \]

Пример

После скидки 20% товар стал стоить 640 рублей. Сколько он стоил изначально?

После скидки осталось \(80\%\) стоимости:

\[ 0{,}8x=640. \]

\[ x=\frac{640}{0{,}8}=800. \]

Ответ: 800 рублей.

---

5. Пропорции и отношения

Если величины прямо пропорциональны, удобно составить пропорцию:

\[ \frac{a}{b}=\frac{c}{d}. \]

Затем перемножить крест-накрест:

\[ ad=bc. \]

Деление числа в отношении

Если число \(T\) разделили в отношении \(m:n\), то:

\[ T_1=\frac{Tm}{m+n}, \]

\[ T_2=\frac{Tn}{m+n}. \]

Пример

54 разделили в отношении \(2:7\).

Сумма частей:

\[ 2+7=9. \]

Первая часть:

\[ 54\cdot\frac29=12. \]

Вторая часть:

\[ 54\cdot\frac79=42. \]

---

6. Цена, количество и стоимость

Основная формула:

\[ C=pn, \]

где:

• \(C\) — общая стоимость;
• \(p\) — цена одной единицы;
• \(n\) — количество.

Из неё:

\[ p=\frac Cn, \]

\[ n=\frac Cp. \]

Пример

Один билет стоит 350 рублей. Сколько стоят 4 билета?

\[ 350\cdot4=1400. \]

Ответ: 1400 рублей.

Если есть скидка, сначала вычисляют цену после скидки:

\[ C_{\text{со скидкой}} =C\left(1-\frac p{100}\right). \]

Если есть несколько товаров:

\[ C_{\text{общая}}=C_1+C_2+C_3. \]

---

7. Тарифы и расход

Если стоимость зависит от количества использованной воды, электроэнергии, газа или минут, применяется формула:

\[ C=rt, \]

где \(r\) — тариф за единицу, \(t\) — количество использованных единиц.

Если тарифы разные для разных частей расхода:

\[ C=r_1t_1+r_2t_2. \]

Пример

Первые 100 кВт·ч стоят 5 рублей за 1 кВт·ч, следующие 50 кВт·ч — 7 рублей.

\[ 100\cdot5+50\cdot7 =500+350=850. \]

Ответ: 850 рублей.

---

8. Скорость, время и расстояние

Главная формула:

\[ S=vt, \]

где:

• \(S\) — расстояние;
• \(v\) — скорость;
• \(t\) — время.

Из неё:

\[ v=\frac St, \]

\[ t=\frac Sv. \]

Перевод времени

\[ 1\text{ ч}=60\text{ мин}, \]

\[ 1\text{ мин}=60\text{ с}. \]

Пример

Автомобиль ехал со скоростью \(60\) км/ч в течение \(2{,}5\) часа.

\[ S=60\cdot2{,}5=150\text{ км}. \]

Ответ: 150 км.

Если путь состоит из нескольких участков:

\[ S_{\text{общая}}=S_1+S_2+\dots \]

---

9. Расход материалов

Если известно, сколько материала требуется на единицу площади, используют пропорцию.

Например, на \(100\text{ м}^2\) требуется \(2\) кг удобрения:

\[ m=\frac{2S}{100}. \]

Если материал продаётся упаковками, количество упаковок округляют в большую сторону:

\[ N=\left\lceil\frac{m}{m_{\text{упаковки}}}\right\rceil. \]

Нельзя купить \(2{,}04\) упаковки — понадобится 3 упаковки.

Для обоев или плитки сначала находят площадь поверхности:

\[ S_{\text{стен}}=P_{\text{комнаты}}\cdot h, \]

затем вычитают площадь окон и дверей:

\[ S_{\text{обоев}} =S_{\text{стен}}-S_{\text{окон}}-S_{\text{дверей}}. \]

---

10. Округление

Если требуется количество целых предметов:

• «не менее», «хватит», «нужно купить» — округляем вверх;
• «не более», «максимальное число» — округляем вниз;
• обычное округление — по первой цифре после нужного разряда.

Например:

\[ 2{,}04\to3 \]

при покупке упаковок, но

\[ 2{,}04\to2 \]

при обычном округлении до целого.

---

Основные единицы измерения

\[ 1\text{ м}=100\text{ см} \]

\[ 1\text{ км}=1000\text{ м} \]

\[ 1\text{ м}^2=10\,000\text{ см}^2 \]

\[ 1\text{ га}=10\,000\text{ м}^2 \]

\[ 1\text{ м}^3=1000\text{ л} \]

\[ 1\text{ л}=1\text{ дм}^3 \]

При переводе площадей коэффициент возводится в квадрат, а при переводе объёмов — в куб.

---

Подробный тренировочный пример на 5 заданий

Условие

На плане прямоугольного участка, выполненном в масштабе \(1:500\), длина участка равна \(8\) см, а ширина — \(5\) см.

На этом же плане изображён прямоугольный дом размером \(3\) см на \(2\) см.

Для обработки свободной части участка требуется \(1{,}2\) кг удобрения на каждые \(100\text{ м}^2\). Удобрение продаётся в мешках по \(5\) кг стоимостью 720 рублей.

Забор устанавливают по границе участка, кроме ворот шириной 4 м. Стоимость одного метра забора — 650 рублей.

---

Задание 1. Найти длину участка

Масштаб \(1:500\), поэтому:

\[ 8\cdot500=4000\text{ см}. \]

Переведём сантиметры в метры:

\[ 4000:100=40\text{ м}. \]

Ответ: \(40\).

---

Задание 2. Найти площадь участка

Сначала найдём ширину:

\[ 5\cdot500=2500\text{ см}=25\text{ м}. \]

Площадь прямоугольника:

\[ S=ab. \]

\[ S_{\text{участка}}=40\cdot25=1000\text{ м}^2. \]

Ответ: \(1000\).

---

Задание 3. Найти площадь свободной части участка

Размеры дома в реальности:

\[ 3\cdot500=1500\text{ см}=15\text{ м}, \]

\[ 2\cdot500=1000\text{ см}=10\text{ м}. \]

Площадь дома:

\[ S_{\text{дом}}=15\cdot10=150\text{ м}^2. \]

Свободная площадь:

\[ S_{\text{свободная}}=1000-150=850\text{ м}^2. \]

Ответ: \(850\).

---

Задание 4. Сколько мешков удобрения нужно купить?

На \(100\text{ м}^2\) требуется \(1{,}2\) кг.

Для \(850\text{ м}^2\):

\[ m=\frac{850\cdot1{,}2}{100}=10{,}2\text{ кг}. \]

Один мешок содержит 5 кг:

\[ \frac{10{,}2}{5}=2{,}04. \]

Нужно купить целое число мешков, поэтому округляем вверх:

\[ 3\text{ мешка}. \]

Ответ: \(3\).

---

Задание 5. Сколько будет стоить забор?

Периметр участка:

\[ P=2(40+25)=2\cdot65=130\text{ м}. \]

Ворота занимают 4 м, поэтому длина забора:

\[ 130-4=126\text{ м}. \]

Стоимость:

\[ 126\cdot650=81\,900\text{ рублей}. \]

Ответ: \(81900\).

---

Частые ошибки

1. При масштабе забывают перевести сантиметры в метры.
2. Для площади используют коэффициент масштаба \(n\), а нужно \(n^2\).
3. В процентах сравнивают не с тем числом.
4. При покупке материала округляют обычным способом, а надо вверх.
5. Складывают длины вместо площадей.
6. Округляют промежуточный результат.
7. Берут размеры «на глаз» с рисунка, хотя точные размеры указаны в условии.

Универсальный алгоритм

1. Выписать все данные.
2. Привести величины к одинаковым единицам.
3. Понять, что именно требуется найти.
4. Записать подходящую формулу.
5. Выполнить вычисления.
6. Проверить единицы измерения и разумность ответа.
7. Если требуется количество упаковок или предметов — округлить вверх.