Выполните номера
Краткие ответы
7.22
а) \(\sqrt[3]{m^2}-4\sqrt[3]{n^2}\);
б) \(\sqrt[3]{25}-3\);
в) \(a^2-b\);
г) \(8-\sqrt[3]{16}=8-2\sqrt[3]{2}\).
7.23
а) \(x\sqrt{x}+y\sqrt{y}\);
б) \(27+\sqrt[4]{a^3}\);
в) \(8p\sqrt{p}+q\sqrt{q}\);
г) \(\sqrt{a}-\sqrt{b}\).
Решение
Используем формулы:
\[ (A-B)(A+B)=A^2-B^2, \]
\[ (A+B)(A^2-AB+B^2)=A^3+B^3, \]
\[ (A-B)(A^2+AB+B^2)=A^3-B^3. \]
7.22
а)
\[ (\sqrt[3]{m}-2\sqrt[3]{n})(\sqrt[3]{m}+2\sqrt[3]{n}) \]
\[ =(\sqrt[3]{m})^2-(2\sqrt[3]{n})^2 =\sqrt[3]{m^2}-4\sqrt[3]{n^2}. \]
б)
\[ (\sqrt[3]{5}-\sqrt3)(\sqrt3+\sqrt[3]{5}) \]
\[ =(\sqrt[3]{5})^2-(\sqrt3)^2 =\sqrt[3]{25}-3. \]
в)
\[ (a-\sqrt b)(a+\sqrt b)=a^2-(\sqrt b)^2=a^2-b. \]
г)
\[ (\sqrt[3]{4}+2\sqrt2)(2\sqrt2-\sqrt[3]{4}) \]
\[ =(2\sqrt2)^2-(\sqrt[3]{4})^2 =8-\sqrt[3]{16} =8-2\sqrt[3]{2}. \]
7.23
а) Пусть \(A=\sqrt x\), \(B=\sqrt y\). Тогда:
\[ x-\sqrt{xy}+y=A^2-AB+B^2. \]
Следовательно,
\[ (\sqrt x+\sqrt y)(x-\sqrt{xy}+y) =A^3+B^3 \]
\[ =(\sqrt x)^3+(\sqrt y)^3 =x\sqrt x+y\sqrt y. \]
б) Пусть \(t=\sqrt[4]{a}\). Тогда \(t^2=\sqrt a\):
\[ (3+t)(9-3t+t^2)=3^3+t^3. \]
Поэтому
\[ (3+\sqrt[4]{a})(9-3\sqrt[4]{a}+\sqrt a) =27+\sqrt[4]{a^3}. \]
в) Пусть \(A=2\sqrt p\), \(B=\sqrt q\). Тогда:
\[ 4p-2\sqrt{pq}+q=A^2-AB+B^2. \]
Значит,
\[ (2\sqrt p+\sqrt q)(4p-2\sqrt{pq}+q) =A^3+B^3 \]
\[ =(2\sqrt p)^3+(\sqrt q)^3 =8p\sqrt p+q\sqrt q. \]
г) Пусть
\[ A=\sqrt[6]{a},\qquad B=\sqrt[6]{b}. \]
Тогда
\[ A^2=\sqrt[3]{a},\quad AB=\sqrt[6]{ab},\quad B^2=\sqrt[3]{b}. \]
Получаем:
\[ (\sqrt[3]{a}+\sqrt[6]{ab}+\sqrt[3]{b}) (\sqrt[6]{a}-\sqrt[6]{b}) \]
\[ =(A^2+AB+B^2)(A-B)=A^3-B^3 =\sqrt a-\sqrt b. \]
Во всех пунктах применены формулы разности квадратов или суммы и разности кубов.
Обсуждение
4 сообщениявыполните номера
выполните номера
Выполним № 7.24 и 7.25.
№ 7.24
Используем формулу:
\[ (u\pm v)^2=u^2\pm2uv+v^2. \]
а)
\[ \left(\sqrt[5]{m}-2\sqrt[5]{n}\right)^2 =\sqrt[5]{m^2}-4\sqrt[5]{mn}+4\sqrt[5]{n^2}. \]
б)
\[ \left(\sqrt[3]{5}-\sqrt3\right)^2 =\sqrt[3]{25}-2\sqrt3\sqrt[3]{5}+3. \]
в)
\[ (a^2-\sqrt a)^2 =a^4-2a^2\sqrt a+a. \]
г)
\[ \left(\sqrt[3]{4}+2\sqrt2\right)^2 =\sqrt[3]{16}+4\sqrt2\sqrt[3]{4}+8. \]
Можно упростить:
\[ \boxed{8+2\sqrt[3]{2}+8\sqrt[6]{2}}. \]
№ 7.25
Используем формулы разности квадратов и суммы и разности кубов.
а)
\[ \frac{a-b}{\sqrt a-\sqrt b} =\frac{(\sqrt a-\sqrt b)(\sqrt a+\sqrt b)} {\sqrt a-\sqrt b} =\boxed{\sqrt a+\sqrt b}. \]
б)
\[ \frac{k+l}{\sqrt[3]{k}+\sqrt[3]{l}} = \boxed{\sqrt[3]{k^2}-\sqrt[3]{kl}+\sqrt[3]{l^2}}. \]
в)
\[ \frac{m-n}{\sqrt[3]{m}-\sqrt[3]{n}} = \boxed{\sqrt[3]{m^2}+\sqrt[3]{mn}+\sqrt[3]{n^2}}. \]
г)
\[ \frac{x-4y}{\sqrt x+2\sqrt y} = \frac{(\sqrt x-2\sqrt y)(\sqrt x+2\sqrt y)} {\sqrt x+2\sqrt y} =\boxed{\sqrt x-2\sqrt y}. \]
Сокращение в № 7.25 возможно, если исходный знаменатель не равен нулю.
№ 7.24
Используем формулы:
\[ (A-B)^2=A^2-2AB+B^2,\qquad (A+B)^2=A^2+2AB+B^2. \]
а)
\[ \left(\sqrt[3]{m}-2\sqrt[3]{n}\right)^2 =\sqrt[3]{m^2}-4\sqrt[3]{mn}+4\sqrt[3]{n^2}. \]
б)
\[ \left(\sqrt[3]{5}-\sqrt3\right)^2 =\sqrt[3]{25}-2\sqrt3\sqrt[3]{5}+3. \]
в)
\[ (a^2-\sqrt a)^2 =a^4-2a^2\sqrt a+a. \]
г)
\[ \left(\sqrt[3]{4}+2\sqrt2\right)^2 =\sqrt[3]{16}+4\sqrt2\sqrt[3]{4}+8. \]
Можно упростить:
\[ \boxed{8+2\sqrt[3]{2}+8\sqrt[6]{2}}. \]
№ 7.25
а)
\[ \frac{a-b}{\sqrt a-\sqrt b} = \frac{(\sqrt a-\sqrt b)(\sqrt a+\sqrt b)} {\sqrt a-\sqrt b} =\boxed{\sqrt a+\sqrt b}. \]
б)
\[ \frac{k+l}{\sqrt[3]{k}+\sqrt[3]{l}} = \frac{(\sqrt[3]{k})^3+(\sqrt[3]{l})^3} {\sqrt[3]{k}+\sqrt[3]{l}} \]
\[ =\boxed{\sqrt[3]{k^2}-\sqrt[3]{kl}+\sqrt[3]{l^2}}. \]
в)
\[ \frac{m-n}{\sqrt[3]{m}-\sqrt[3]{n}} = \frac{(\sqrt[3]{m})^3-(\sqrt[3]{n})^3} {\sqrt[3]{m}-\sqrt[3]{n}} \]
\[ =\boxed{\sqrt[3]{m^2}+\sqrt[3]{mn}+\sqrt[3]{n^2}}. \]
г)
\[ \frac{x-4y}{\sqrt x+2\sqrt y} = \frac{(\sqrt x)^2-(2\sqrt y)^2} {\sqrt x+2\sqrt y} =\boxed{\sqrt x-2\sqrt y}. \]
