Если ты имеешь в виду практико-ориентированный блок ОГЭ по математике 1–5 про листы бумаги, то точные числа заранее неизвестны, но типы задач повторяются. Ниже — основные варианты, формулы и примеры.

1. Размеры листа и перевод единиц

Часто дают размеры листа в миллиметрах, а ответ требуют в сантиметрах или квадратных сантиметрах.

Основные переводы

\[ 1\text{ см}=10\text{ мм} \]

\[ 1\text{ м}=100\text{ см}=1000\text{ мм} \]

Для площади:

\[ 1\text{ см}^2=100\text{ мм}^2 \]

\[ 1\text{ м}^2=10\,000\text{ см}^2 \]

Пример

Лист формата А4 имеет размеры \(210\text{ мм}\times297\text{ мм}\).

Переведём в сантиметры:

\[ 210\text{ мм}=21\text{ см}, \qquad 297\text{ мм}=29{,}7\text{ см} \]

Необходимо найти площадь:

\[ S=ab \]

\[ S=21\cdot29{,}7=623{,}7\text{ см}^2 \]

Ответ: \(623{,}7\text{ см}^2\).

---

2. Площадь и периметр листа

Обычно лист имеет форму прямоугольника.

Формулы прямоугольника

Площадь:

\[ S=ab \]

Периметр:

\[ P=2(a+b) \]

где \(a\) и \(b\) — длина и ширина листа.

Пример

Длина листа \(29{,}7\text{ см}\), ширина \(21\text{ см}\). Найдём периметр:

\[ P=2(29{,}7+21) \]

\[ P=2\cdot50{,}7=101{,}4\text{ см} \]

Ответ: \(101{,}4\text{ см}\).

Если нужно найти неизвестную сторону

Если известны площадь и одна сторона:

\[ b=\frac{S}{a} \]

Если известен периметр и одна сторона:

\[ b=\frac{P}{2}-a \]

Если лист квадратный

Площадь:

\[ S=a^2 \]

Периметр:

\[ P=4a \]

---

3. Диагональ листа

Иногда требуется найти расстояние от одного угла прямоугольного листа до противоположного.

Используется теорема Пифагора:

\[ d^2=a^2+b^2 \]

\[ d=\sqrt{a^2+b^2} \]

Пример

Стороны листа равны \(21\text{ см}\) и \(28\text{ см}\).

\[ d=\sqrt{21^2+28^2} \]

\[ d=\sqrt{441+784} \]

\[ d=\sqrt{1225}=35\text{ см} \]

Ответ: \(35\text{ см}\).

---

4. Разрезание листа на равные части

В задании могут спросить, на сколько частей разрезали лист или каковы размеры одного кусочка.

Если лист разделили на \(n\) равных полос

Например, прямоугольник \(21\text{ см}\times30\text{ см}\) разделили на 3 части вдоль стороны \(30\text{ см}\).

Ширина одной части:

\[ \frac{30}{3}=10\text{ см} \]

Размер одной части:

\[ 21\text{ см}\times10\text{ см} \]

Площадь одной части:

\[ S_1=21\cdot10=210\text{ см}^2 \]

Или можно сразу использовать:

\[ S_1=\frac{S_{\text{листа}}}{n} \]

Если лист делят на прямоугольные кусочки

Если из листа со сторонами \(a\) и \(b\) получают кусочки со сторонами \(c\) и \(d\), количество кусочков при расположении в одном направлении:

\[ N=\left\lfloor\frac{a}{c}\right\rfloor \cdot \left\lfloor\frac{b}{d}\right\rfloor \]

Значок \(\lfloor\ \rfloor\) означает, что берётся только целая часть.

Важно проверить и повёрнутый вариант:

\[ N_1=\left\lfloor\frac{a}{c}\right\rfloor \cdot \left\lfloor\frac{b}{d}\right\rfloor \]

\[ N_2=\left\lfloor\frac{a}{d}\right\rfloor \cdot \left\lfloor\frac{b}{c}\right\rfloor \]

Выбираем большее количество.

Пример

Из листа \(21\text{ см}\times29{,}7\text{ см}\) делают карточки \(7\text{ см}\times10\text{ см}\).

Первый вариант:

\[ \left\lfloor\frac{21}{7}\right\rfloor \cdot \left\lfloor\frac{29{,}7}{10}\right\rfloor =3\cdot2=6 \]

Поворачиваем карточку:

\[ \left\lfloor\frac{21}{10}\right\rfloor \cdot \left\lfloor\frac{29{,}7}{7}\right\rfloor =2\cdot4=8 \]

Значит, выгоднее получить 8 карточек с одного листа.

---

5. Складывание листа

Если лист складывают пополам, площадь каждой части становится в 2 раза меньше.

Если сложили два раза пополам:

\[ 2\cdot2=4 \]

части.

Если сложили \(n\) раз пополам:

\[ N=2^n \]

где \(N\) — количество получившихся слоёв или частей.

Площадь одной части:

\[ S_1=\frac{S}{N} \]

Пример

Лист площадью \(800\text{ см}^2\) сложили пополам два раза.

Количество частей:

\[ N=2^2=4 \]

Площадь одной части:

\[ S_1=\frac{800}{4}=200\text{ см}^2 \]

---

6. Поля и полезная площадь

В листе могут оставить поля по краям.

Если лист имеет размеры \(a\times b\), а со всех сторон оставили поле шириной \(x\), то размеры рабочей области:

\[ (a-2x)\times(b-2x) \]

Площадь рабочей области:

\[ S_{\text{раб}}=(a-2x)(b-2x) \]

Пример

Размер листа \(21\text{ см}\times29{,}7\text{ см}\). Поля со всех сторон по \(2\text{ см}\).

Рабочие размеры:

\[ 21-2\cdot2=17\text{ см} \]

\[ 29{,}7-2\cdot2=25{,}7\text{ см} \]

Площадь:

\[ S_{\text{раб}}=17\cdot25{,}7=436{,}9\text{ см}^2 \]

Если поля слева и справа разные, используем:

\[ S_{\text{раб}}=(a-l-r)(b-t-c) \]

где \(l,r,t,c\) — размеры полей слева, справа, сверху и снизу.

---

7. Сколько листов понадобится

Если на одном листе помещается \(k\) изделий, а всего нужно \(N\) изделий, количество листов:

\[ n=\left\lceil\frac{N}{k}\right\rceil \]

Значок \(\lceil\ \rceil\) означает округление вверх.

Пример

На одном листе помещается 8 открыток. Нужно изготовить 100 открыток.

\[ n=\left\lceil\frac{100}{8}\right\rceil \]

\[ n=\lceil12{,}5\rceil=13 \]

Понадобится 13 листов, потому что 12 листов дадут только:

\[ 12\cdot8=96 \]

---

8. Двусторонняя печать и страницы

Если на одном листе печатают с двух сторон:

\[ n=\left\lceil\frac{N}{2}\right\rceil \]

где \(N\) — количество страниц.

Пример

Нужно напечатать 121 страницу с двух сторон:

\[ n=\left\lceil\frac{121}{2}\right\rceil =\lceil60{,}5\rceil=61 \]

Понадобится 61 лист.

Если в условии прямо сказано, что один лист используется для \(k\) страниц, то:

\[ n=\left\lceil\frac{N}{k}\right\rceil \]

---

9. Пачки бумаги

Если в одной пачке \(q\) листов, а требуется \(N\) листов:

\[ n_{\text{пачек}}= \left\lceil\frac{N}{q}\right\rceil \]

Пример

В пачке 500 листов. Нужно 1200 листов.

\[ n_{\text{пачек}}= \left\lceil\frac{1200}{500}\right\rceil =\lceil2{,}4\rceil=3 \]

Нужно купить 3 пачки.

Всего будет:

\[ 3\cdot500=1500\text{ листов} \]

Останется:

\[ 1500-1200=300\text{ листов} \]

---

10. Стоимость бумаги или печати

Основная формула:

\[ C=p\cdot n \]

где \(p\) — цена одного листа, \(n\) — количество листов.

Если цена указана за пачку:

\[ C=p_{\text{пачки}}\cdot n_{\text{пачек}} \]

Пример

Одна пачка стоит 350 рублей. Нужно купить 3 пачки:

\[ C=350\cdot3=1050\text{ рублей} \]

---

11. Скидка и проценты

Стоимость после скидки \(p\%\):

\[ C_{\text{новая}}=C\left(1-\frac{p}{100}\right) \]

Сумма скидки:

\[ C_{\text{скидки}}=C\cdot\frac{p}{100} \]

Пример

Пачка стоит 400 рублей. Скидка 15%.

Сумма скидки:

\[ 400\cdot\frac{15}{100}=60 \]

Новая цена:

\[ 400-60=340\text{ рублей} \]

Или сразу:

\[ 400\left(1-\frac{15}{100}\right) =400\cdot0{,}85=340 \]

---

12. Отношения и пропорции

Если размеры листа или количество бумаги изменяются пропорционально, используют пропорцию.

Например:

\[ \frac{a}{b}=\frac{c}{x} \]

Затем находят неизвестное:

\[ x=\frac{bc}{a} \]

Также могут спросить, во сколько раз одна величина больше другой:

\[ k=\frac{A}{B} \]

А процентное отношение:

\[ p=\frac{A}{B}\cdot100\% \]

---

13. Масса бумаги

Если известна масса одного листа:

\[ m_{\text{общ}}=m_1\cdot n \]

где \(m_1\) — масса одного листа, \(n\) — количество листов.

Если указана плотность бумаги в граммах на квадратный метр:

\[ m=\rho S \]

Важно перевести площадь в квадратные метры.

Например, площадь листа А4:

\[ 210\text{ мм}=0{,}21\text{ м} \]

\[ 297\text{ мм}=0{,}297\text{ м} \]

\[ S=0{,}21\cdot0{,}297=0{,}06237\text{ м}^2 \]

Если плотность бумаги \(80\text{ г/м}^2\), то масса листа:

\[ m=80\cdot0{,}06237\approx4{,}99\text{ г} \]

---

14. Если на листе есть круги или отверстия

Площадь круга:

\[ S_{\text{круга}}=\pi r^2 \]

Длина окружности:

\[ L=2\pi r \]

Если из прямоугольного листа вырезали круг, площадь оставшейся части:

\[ S_{\text{ост}}=S_{\text{прямоугольника}}-S_{\text{круга}} \]

---

Как решать любой блок 1–5

1. Выпиши все данные из условия.
2. Сделай рисунок или схему.
3. Переведи величины в одинаковые единицы.
4. Определи тип задачи: площадь, периметр, разрезание, количество, стоимость или проценты.
5. Запиши формулу.
6. Подставь числа.
7. Проверь единицы ответа.
8. Если нужно купить целое число листов или пачек — округляй вверх, а не по обычному правилу.

Главное: в конкретном варианте номер задания не всегда соответствует одному и тому же типу. Например, в одном варианте площадь будет в задании 1, а в другом — в задании 3. But mathematical models usually repeat.