43.2
Краткий ответ:
- \(\max f=0\) при \(x=0\); \(\min f=-\dfrac{16}{3}\) при \(x=2\).
- \(\max f=1\) при \(x=-2\); \(\min f=-2\) при \(x=-1\).
- \(\max f=48\) при \(x=-2\); \(\min f=-6\) при \(x=1\).
- \(\max f=0\) при \(x=0\); \(\min f=-28\) при \(x=2\).
Принцип решения
Для нахождения наибольшего и наименьшего значений функции на отрезке:
- Находим производную.
- Находим критические точки, где \(f'(x)=0\).
- Оставляем только точки из заданного отрезка.
- Вычисляем значения функции в критических точках и на концах отрезка.
- Сравниваем полученные числа.
1) \(f(x)=\dfrac13x^3-4x,\quad x\in[0;3]\)
\[ f'(x)=x^2-4=(x-2)(x+2). \]
Критическая точка на отрезке: \(x=2\).
\[ \begin{aligned} f(0)&=0,\\ f(2)&=\frac13\cdot 8-8=-\frac{16}{3},\\ f(3)&=\frac13\cdot27-12=-3. \end{aligned} \]
Сравниваем:
\[ -\frac{16}{3}<-3<0. \]
Ответ:
\[
\boxed{\min f=-\frac{16}{3}\text{ при }x=2;}
\qquad
\boxed{\max f=0\text{ при }x=0.}
\]
2) \(f(x)=x-1-x^3-x^2,\quad x\in[-2;0]\)
\[ f'(x)=1-3x^2-2x=-(3x-1)(x+1). \]
Критические точки: \(x=-1\) и \(x=\dfrac13\).
На отрезке \([-2;0]\) находится только \(x=-1\).
\[ \begin{aligned} f(-2)&=-2-1+8-4=1,\\ f(-1)&=-1-1+1-1=-2,\\ f(0)&=-1. \end{aligned} \]
Ответ:
\[
\boxed{\min f=-2\text{ при }x=-1;}
\qquad
\boxed{\max f=1\text{ при }x=-2.}
\]
3) \(f(x)=2x^4-8x,\quad x\in[-2;1]\)
\[ f'(x)=8x^3-8=8(x^3-1). \]
Критическая точка: \(x=1\).
\[ \begin{aligned} f(-2)&=2\cdot16+16=48,\\ f(1)&=2-8=-6. \end{aligned} \]
Ответ:
\[
\boxed{\min f=-6\text{ при }x=1;}
\qquad
\boxed{\max f=48\text{ при }x=-2.}
\]
4) \(f(x)=\dfrac{x^4}{4}-8x^2,\quad x\in[-1;2]\)
\[ f'(x)=x^3-16x=x(x-4)(x+4). \]
Критическая точка на отрезке: \(x=0\).
\[ \begin{aligned} f(-1)&=\frac14-8=-\frac{31}{4},\\ f(0)&=0,\\ f(2)&=\frac{16}{4}-8\cdot4=4-32=-28. \end{aligned} \]
Так как
\[ -28<-\frac{31}{4}<0, \]
получаем:
\[ \boxed{\min f=-28\text{ при }x=2;} \qquad \boxed{\max f=0\text{ при }x=0.} \]
Проверка выполнена: для каждого многочлена рассмотрены все концы отрезка и все критические точки внутри него.
