Номер 8(1,2) номер 10 номер 21 номер 26 номер 33

Краткие ответы

• 8(1): \(SP=4\) см, \(PM=16\) см.
• 8(2): \(SP=4\) см, \(PM=16\) см.
• 10: \(RT=11{,}8\) дм.
• 21:
  • а) \(\angle KMP,\ \angle PMF,\ \angle KMF\);
  • б) \(\angle VNO,\ \angle VNR,\ \angle VNT,\ \angle ONR,\ \angle ONT,\ \angle RNT\).
• 26: \(\angle BOD=21^\circ\).
• 33: \(\angle AMF=127^\circ\).

Решение

№ 8

Так как точка \(P\) лежит на отрезке \(SM\), то

\[ SP+PM=SM=20\text{ см}. \]

1) \(SP\) на \(12\) см меньше \(PM\). Пусть \(SP=x\), тогда \(PM=x+12\).

\[ x+(x+12)=20, \] \[ 2x=8,\qquad x=4. \]

Значит,

\[ SP=4\text{ см},\qquad PM=4+12=16\text{ см}. \]

Проверка: \(4+16=20\), \(16-4=12\).

2) \(PM\) в 4 раза больше \(SP\). Пусть \(SP=x\), тогда \(PM=4x\).

\[ x+4x=20, \] \[ 5x=20,\qquad x=4. \]

Следовательно,

\[ SP=4\text{ см},\qquad PM=16\text{ см}. \]

Проверка: \(16=4\cdot4\).

№ 10

Точка \(Q\) — середина \(SR\), поэтому

\[ SQ=\frac{SR}{2}. \]

Точка \(M\) — середина \(ST\), поэтому

\[ SM=\frac{ST}{2}. \]

Так как \(S\) находится между \(R\) и \(T\),

\[ QM=QS+SM=\frac{SR+ST}{2}=\frac{RT}{2}. \]

Тогда

\[ RT=2QM=2\cdot5{,}9=11{,}8\text{ дм}. \]

№ 21

Угол записывается тремя буквами, причём вершина стоит в середине. Нужно взять все пары лучей, не повторяя один и тот же угол.

• На рисунке а изображены 3 луча из точки \(M\), поэтому получаем 3 угла: \[ \angle KMP,\quad \angle PMF,\quad \angle KMF. \]

• На рисунке б изображены 4 луча из точки \(N\), поэтому получаем 6 углов: \[ \angle VNO,\quad \angle VNR,\quad \angle VNT, \] \[ \angle ONR,\quad \angle ONT,\quad \angle RNT. \]

№ 26

Луч \(OD\) проходит внутри угла \(AOB\), значит,

\[ \angle AOB=\angle AOD+\angle DOB. \]

\[ \angle BOD=\angle DOB=108^\circ-87^\circ=21^\circ. \]

№ 33

Так как \(MF\) — биссектриса угла \(BMT\), она делит его пополам:

\[ \angle FMT=\frac{\angle BMT}{2} =\frac{106^\circ}{2}=53^\circ. \]

Луч \(MA\) является продолжением луча \(MT\), поэтому

\[ \angle AMF+\angle FMT=180^\circ. \]

\[ \angle AMF=180^\circ-53^\circ=127^\circ. \]