Реши задание на изображении

Краткий ответ (считаем \(0^\circ<A<180^\circ\)):

• а) \(\sin A=\frac23\):
  \[ A\approx41{,}8^\circ \] Также подходит дополнительный угол: \[ A\approx138{,}2^\circ. \]
• б) \(\cos A=\frac34\):
  \[ A\approx41{,}4^\circ. \]
• в) \(\cos A=-\frac25\):
  \[ A\approx113{,}6^\circ. \]

Принцип построения

В прямоугольном треугольнике:

\[ \sin A=\frac{\text{противолежащий катет}}{\text{гипотенуза}},\qquad \cos A=\frac{\text{прилежащий катет}}{\text{гипотенуза}}. \]

Чтобы построить прямоугольный треугольник с гипотенузой \(AB\), можно построить окружность с диаметром \(AB\): любой угол, опирающийся на диаметр, прямой.

а) \(\sin A=\frac23\)

1. Постройте отрезок \(AB=3\) см.
2. Постройте окружность с диаметром \(AB\).
3. Из точки \(B\) проведите окружность радиусом \(2\) см. Точку пересечения обозначьте \(C\).
4. Тогда \(\angle ACB=90^\circ\), \(AB=3\), \(BC=2\).

Поэтому:

\[ \sin\angle BAC=\frac{BC}{AB}=\frac23. \]

Получаем острый угол \(A\approx41{,}8^\circ\).
Если продолжить \(BA\) за точку \(A\), то дополнительный угол \(\angle DAC\approx138{,}2^\circ\) также имеет синус \(\frac23\).

б) \(\cos A=\frac34\)

1. Постройте \(AB=4\) см.
2. Постройте окружность с диаметром \(AB\).
3. Из точки \(A\) проведите окружность радиусом \(3\) см. Точку пересечения обозначьте \(C\).
4. Тогда \(\angle ACB=90^\circ\), \(AC=3\), \(AB=4\).

Следовательно:

\[ \cos\angle BAC=\frac{AC}{AB}=\frac34. \]

в) \(\cos A=-\frac25\)

1. Постройте \(AB=5\) см.
2. Постройте окружность с диаметром \(AB\).
3. Из точки \(A\) проведите окружность радиусом \(2\) см. Точку пересечения обозначьте \(C\).
4. Тогда для острого угла \(\beta=\angle BAC\):

\[ \cos\beta=\frac{AC}{AB}=\frac25. \]

5. Продолжите \(BA\) за точку \(A\) и получите противоположный луч \(AD\). Искомый угол — \(\angle DAC\):

\[ \angle DAC=180^\circ-\beta. \]

Поэтому:

\[ \cos\angle DAC=-\cos\beta=-\frac25. \]