Вариант А1

Краткие ответы — вариант А1

1. Вычислите:

   • а) \(\displaystyle -\frac{\sqrt3}{2}\);
   • б) \(0\).

2. Упростите:

   • а) \(1\), при \(\sin\alpha\ne0\);
   • б) \(\displaystyle -\frac{\sqrt3}{2}\cos\alpha\).

3. \[ \sin\alpha\cos3\alpha-\cos\alpha\sin3\alpha =\cos\left(\frac{3\pi}{2}-2\alpha\right). \]

Ключевые шаги

1а)

\[ \sin300^\circ=\sin(360^\circ-60^\circ) =-\sin60^\circ=-\frac{\sqrt3}{2}. \]

1б)

Используем формулу:

\[ \cos x\cos y-\sin x\sin y=\cos(x+y). \]

Тогда

\[ \cos62^\circ\cos28^\circ-\sin62^\circ\sin28^\circ =\cos(62^\circ+28^\circ) =\cos90^\circ=0. \]

2а)

\[ \cos\left(\frac{3\pi}{2}+\alpha\right)=\sin\alpha, \qquad \sin(\pi-\alpha)=\sin\alpha. \]

Поэтому

\[ \frac{\cos\left(\frac{3\pi}{2}+\alpha\right)} {\sin(\pi-\alpha)} = \frac{\sin\alpha}{\sin\alpha}=1. \]

Исходное выражение определено при \(\sin\alpha\ne0\).

2б)

Раскроем синус суммы:

\[ \sin\left(\frac{\pi}{3}+\alpha\right) = \sin\frac{\pi}{3}\cos\alpha+ \cos\frac{\pi}{3}\sin\alpha = \frac{\sqrt3}{2}\cos\alpha+\frac12\sin\alpha. \]

Тогда

\[ \frac12\sin\alpha- \sin\left(\frac{\pi}{3}+\alpha\right) = \frac12\sin\alpha- \left(\frac{\sqrt3}{2}\cos\alpha+\frac12\sin\alpha\right) = -\frac{\sqrt3}{2}\cos\alpha. \]

3. Доказательство тождества

По формуле разности синусов:

\[ \sin x\cos y-\cos x\sin y=\sin(x-y). \]

Левая часть:

\[ \sin\alpha\cos3\alpha-\cos\alpha\sin3\alpha = \sin(\alpha-3\alpha) = \sin(-2\alpha) = -\sin2\alpha. \]

Правая часть:

\[ \cos\left(\frac{3\pi}{2}-2\alpha\right) =-\sin2\alpha. \]

Обе части равны \(-\sin2\alpha\), значит тождество доказано.