Реши задание на изображении
Краткий ответ
Сократите дробь:
а) \(\displaystyle \frac{2p}{9}\), \(p\ne0\);
б) \(\displaystyle \frac{7}{a+5}\), \(a\ne0,-5\);
в) \(\displaystyle \frac14\), \(x\ne y,\ x\ne -y\).Представьте в виде дроби:
а) \(\displaystyle \frac{y^2-8}{4y^2}\), \(y\ne0\);
б) \(\displaystyle \frac{2d}{25c^2-d^2}\), \(5c\ne d,\ 5c\ne-d\);
в) \(\displaystyle \frac{3}{a(a+5)}\), \(a\ne0,-5\).\(\boxed{4}\)
\(\displaystyle \boxed{\frac{14}{x(x-7)}}\), \(x\ne0,\pm7\).
\(\boxed{p=-3,-1,1,3}\).
1. Сокращение дробей
а)
\[
\frac{22p^4}{99p^3}
=\frac{22p^3\cdot p}{99p^3}
=\frac{2p}{9}.
\]
б)
\[
\frac{7a}{a^2+5a}
=\frac{7a}{a(a+5)}
=\frac{7}{a+5}.
\]
в) Используем разность квадратов: \[ x^2-y^2=(x-y)(x+y). \] Тогда \[ \frac{x^2-y^2}{4x^2-4y^2} =\frac{(x-y)(x+y)}{4(x-y)(x+y)} =\frac14. \]
2. Приведение к общей дроби
а) Общий знаменатель — \(4y^2\): \[ \frac{y-20}{4y}+\frac{5y-2}{y^2} = \frac{y(y-20)+4(5y-2)}{4y^2}. \] \[ \frac{y^2-20y+20y-8}{4y^2} =\frac{y^2-8}{4y^2}. \]
б) \[ \frac1{5c-d}-\frac1{5c+d} = \frac{(5c+d)-(5c-d)}{(5c-d)(5c+d)}. \] \[ =\frac{2d}{25c^2-d^2}. \]
в) Так как \(a^2+5a=a(a+5)\), получаем: \[ \frac7{a+5}-\frac{7a-3}{a(a+5)} = \frac{7a-(7a-3)}{a(a+5)} = \frac3{a(a+5)}. \]
3. Вычисление значения
\[ \frac{14b^2-c}{7b}-2b = \frac{14b^2}{7b}-\frac{c}{7b}-2b = 2b-\frac{c}{7b}-2b = -\frac{c}{7b}. \]
При \(b=0{,}5,\ c=-14\): \[ -\frac{-14}{7\cdot0{,}5} =\frac{14}{3{,}5} =4. \]
4. Упрощение выражения
\[ x^2-49=(x-7)(x+7),\qquad 49-x^2=-(x-7)(x+7). \]
Приведём к общему знаменателю \(x(x-7)(x+7)\): \[ \frac5{x-7}-\frac2x-\frac{3x}{x^2-49} +\frac{21}{49-x^2} \] \[ = \frac{5x(x+7)-2(x^2-49)-3x^2-21x} {x(x-7)(x+7)}. \]
Числитель: \[ 5x^2+35x-2x^2+98-3x^2-21x =14x+98=14(x+7). \]
Значит, \[ \frac{14(x+7)}{x(x-7)(x+7)} =\frac{14}{x(x-7)}. \]
5. Целые значения \(p\)
Раскроем скобки: \[ \frac{(2p+1)^2-3p+2}{p} = \frac{4p^2+4p+1-3p+2}{p} = \frac{4p^2+p+3}{p}. \]
\[ =4p+1+\frac3p. \]
При целом \(p\) выражение будет целым, если \(p\) — делитель числа \(3\): \[ p\in\{-3,-1,1,3\}. \]
