46
Краткий ответ: отрезки \(AB\) и \(CD\) пересекаются в одной и той же точке пересечения прямых \(AB\) и \(CD\).
Доказательство:
Пусть прямая \(AB\) пересекает отрезок \(CD\) в точке \(E\). Тогда
\[ E\in CD,\qquad E\in AB. \]Пусть прямая \(CD\) пересекает отрезок \(AB\) в точке \(F\). Тогда
\[ F\in AB,\qquad F\in CD. \]Прямые \(AB\) и \(CD\) различны, потому что точки \(A,B,C,D\) не лежат на одной прямой. Две различные прямые могут иметь только одну общую точку, значит, \[ E=F. \]
Эта точка принадлежит и отрезку \(CD\), и отрезку \(AB\). Следовательно, отрезки \(AB\) и \(CD\) пересекаются.
Проверка: точка пересечения лежит именно на обоих отрезках, а не только на их содержащих прямых.
Обсуждение
2 сообщенияНа черти
Вот чертёж:
C
│
│
A ──────── O ──────── B
│
│
D
Точка \(O\) — точка пересечения отрезков \(AB\) и \(CD\).
