Реши задачи через дано

Краткие ответы

• 507:
  а) углы ромба: \(60^\circ, 120^\circ, 60^\circ, 120^\circ\);
  б) диагонали образуют со сторонами углы \(30^\circ\) и \(60^\circ\).
• 508: \(P=42\text{ см}\).
• 509: \(22^\circ30'\) и \(67^\circ30'\).

Решение через «Дано»

Задача 507

Дано: \(ABCD\) — ромб, одна из диагоналей равна стороне.
Найти: углы ромба и углы между диагоналями и сторонами.

Пусть \(AC=AB=a\). Так как \(ABCD\) — ромб, то \(AB=BC=a\). Значит,

\[ AB=BC=AC, \]

поэтому \(\triangle ABC\) — равносторонний:

\[ \angle B=60^\circ. \]

В ромбе противоположные углы равны, а соседние в сумме дают \(180^\circ\):

\[ \angle A=\angle C=180^\circ-60^\circ=120^\circ, \]

\[ \angle B=\angle D=60^\circ. \]

Диагонали ромба делят его углы пополам:

• диагональ \(AC\) делит углы \(A\) и \(C\):

\[ 120^\circ:2=60^\circ; \]

• диагональ \(BD\) делит углы \(B\) и \(D\):

\[ 60^\circ:2=30^\circ. \]

Ответ:
а) \(60^\circ,120^\circ,60^\circ,120^\circ\);
б) \(30^\circ\) и \(60^\circ\).

---

Задача 508

Дано:

\[ ABCD — \text{ромб}, \qquad \angle B=60^\circ, \qquad AC=10{,}5\text{ см}. \]

Найти: \(P\).

В ромбе все стороны равны, поэтому \(AB=BC\). Рассмотрим треугольник \(ABC\). Он равнобедренный, а его угол при вершине равен \(60^\circ\). Тогда углы при основании тоже равны \(60^\circ\):

\[ \angle A=\angle C=\frac{180^\circ-60^\circ}{2}=60^\circ. \]

Следовательно, \(\triangle ABC\) — равносторонний, поэтому

\[ AB=AC=10{,}5\text{ см}. \]

Периметр ромба:

\[ P=4AB=4\cdot10{,}5=42\text{ см}. \]

Проверка: \(42:4=10{,}5\text{ см}\).

Ответ:

\[ \boxed{42\text{ см}}. \]

---

Задача 509

Дано: один из углов ромба равен \(45^\circ\).
Найти: углы между диагоналями и сторонами.

Соседние углы ромба supplementary:

\[ 180^\circ-45^\circ=135^\circ. \]

Диагонали ромба делят углы пополам.

Для диагонали, проходящей через углы \(45^\circ\):

\[ 45^\circ:2=22{,}5^\circ=22^\circ30'. \]

Для другой диагонали:

\[ 135^\circ:2=67{,}5^\circ=67^\circ30'. \]

Проверка:

\[ 2\cdot22{,}5^\circ=45^\circ,\qquad 2\cdot67{,}5^\circ=135^\circ. \]

Ответ:

\[ \boxed{22^\circ30'\text{ и }67^\circ30'}. \]