388 номер
Краткий ответ. Пусть \(ABCD\) — равнобедренная трапеция, где \(AD\parallel BC\), а \(AB=CD\). Тогда
\[ \angle A=\angle D,\qquad \angle B=\angle C, \]
а диагонали равны:
\[ AC=BD. \]
Доказательство
Опустим из вершин \(B\) и \(C\) перпендикуляры \(BE\) и \(CF\) на основание \(AD\).
Так как \(AD\parallel BC\), расстояние между этими параллельными прямыми одинаково, поэтому
\[ BE=CF. \]
Рассмотрим прямоугольные треугольники \(ABE\) и \(DCF\):
- \(AB=CD\) — гипотенузы;
- \(BE=CF\) — катеты.
Следовательно, треугольники равны по гипотенузе и катету. Поэтому равны соответствующие углы при основании:
\[ \angle BAD=\angle CDA, \]
то есть
\[ \angle A=\angle D. \]
Так как \(AD\parallel BC\), односторонние внутренние углы supplementary:
\[ \angle A+\angle B=180^\circ,\qquad \angle D+\angle C=180^\circ. \]
Из \(\angle A=\angle D\) следует:
\[ \angle B=\angle C. \]
Теперь рассмотрим треугольники \(BAD\) и \(CDA\):
\[ AB=CD,\qquad AD=DA,\qquad \angle BAD=\angle CDA. \]
Значит, треугольники равны по двум сторонам и углу между ними. Поэтому соответствующие стороны равны:
\[ \boxed{BD=AC}. \]
Принцип: равные боковые стороны и параллельность оснований позволяют получить равные прямоугольные треугольники, а затем — равенство углов и диагоналей.
Обсуждение
2 сообщенияДокажите что в равнобедренной трапеции а) углы при каждом основании равны б) диагонали равны
Пусть \(ABCD\) — равнобедренная трапеция, где
\[ AD\parallel BC,\qquad AB=CD. \]
Опустим из вершин \(B\) и \(C\) перпендикуляры \(BE\) и \(CF\) на основание \(AD\).
Так как \(AD\parallel BC\), расстояние между параллельными прямыми одинаково:
\[ BE=CF. \]
Рассмотрим прямоугольные треугольники \(ABE\) и \(DCF\). В них:
\[ AB=CD,\qquad BE=CF. \]
Следовательно, треугольники равны по гипотенузе и катету.
а) Углы при каждом основании равны
Из равенства треугольников следует:
\[ \angle BAD=\angle CDA. \]
Это углы при основании \(AD\).
Поскольку \(AD\parallel BC\), соседние углы при каждой боковой стороне в сумме дают \(180^\circ\):
\[ \angle BAD+\angle ABC=180^\circ, \]
\[ \angle CDA+\angle BCD=180^\circ. \]
Так как \(\angle BAD=\angle CDA\), то
\[ \boxed{\angle ABC=\angle BCD}. \]
Значит, углы при каждом основании равны:
\[ \boxed{\angle A=\angle D,\qquad \angle B=\angle C}. \]
б) Диагонали равны
Рассмотрим треугольники \(BAD\) и \(CDA\). В них:
\[ AB=CD, \]
\[ AD=DA, \]
\[ \angle BAD=\angle CDA. \]
Следовательно, треугольники равны по двум сторонам и углу между ними. Поэтому соответствующие стороны — диагонали трапеции — равны:
\[ \boxed{BD=AC}. \]
Таким образом, в равнобедренной трапеции углы при каждом основании равны, а диагонали равны.
