сделай номер 102 (4)

Ответ: ширина прямоугольника — \(10\) см.

Обозначим ширину, то есть меньшую сторону, за \(x\) см. Тогда большая сторона равна \(x+10\) см.

По условию после увеличения:

• меньшая сторона: \(x+15\);
• большая сторона: \(x+10+20=x+30\).

Площадь увеличилась в 5 раз, поэтому составим уравнение:

\[ (x+15)(x+30)=5x(x+10). \]

Раскроем скобки:

\[ x^2+45x+450=5x^2+50x, \]

\[ 4x^2+5x-450=0. \]

Решаем квадратное уравнение:

\[ D=5^2-4\cdot4\cdot(-450)=7225=85^2, \]

\[ x=\frac{-5\pm85}{8}. \]

Получаем:

\[ x_1=10,\qquad x_2=-11{,}25. \]

Отрицательная длина невозможна, значит,

\[ \boxed{x=10\text{ см}}. \]

Проверка:

\[ S_{\text{стар}}=10\cdot20=200\text{ см}^2, \]

\[ S_{\text{нов}}=(10+15)(20+20)=25\cdot40=1000\text{ см}^2, \]

\[ 1000=5\cdot200. \]

Условие выполнено.