Упрости выражения

Краткий ответ:

1. \[ \tg225^\circ\cdot\cos330^\circ\cdot\ctg120^\circ\cdot\sin240^\circ =\frac{\sqrt3}{4}. \]

2. \[ \frac{\cos^2\left(\alpha+\frac{3\pi}{2}\right)} {\tg^2(\alpha-2\pi)} + \frac{\cos^2(\pi-\alpha)} {\tg^2\left(\alpha-\frac{3\pi}{2}\right)} =1. \]

1. Числовое выражение

\[ \tg225^\circ=1,\qquad \cos330^\circ=\frac{\sqrt3}{2}, \]

\[ \ctg120^\circ=-\frac1{\sqrt3},\qquad \sin240^\circ=-\frac{\sqrt3}{2}. \]

Тогда

\[ 1\cdot\frac{\sqrt3}{2}\cdot \left(-\frac1{\sqrt3}\right)\cdot \left(-\frac{\sqrt3}{2}\right) =\frac{\sqrt3}{4}. \]

2. Выражение с \(\alpha\)

Используем свойства тригонометрических функций:

\[ \cos\left(\alpha+\frac{3\pi}{2}\right)=\sin\alpha, \qquad \tg(\alpha-2\pi)=\tg\alpha, \]

\[ \cos(\pi-\alpha)=-\cos\alpha, \qquad \tg\left(\alpha-\frac{3\pi}{2}\right)=-\ctg\alpha. \]

После возведения в квадрат:

\[ \frac{\sin^2\alpha}{\tg^2\alpha} + \frac{\cos^2\alpha}{\ctg^2\alpha}. \]

Так как

\[ \tg^2\alpha=\frac{\sin^2\alpha}{\cos^2\alpha}, \qquad \ctg^2\alpha=\frac{\cos^2\alpha}{\sin^2\alpha}, \]

получаем:

\[ \frac{\sin^2\alpha}{\tg^2\alpha}=\cos^2\alpha, \qquad \frac{\cos^2\alpha}{\ctg^2\alpha}=\sin^2\alpha. \]

Следовательно,

\[ \cos^2\alpha+\sin^2\alpha=1. \]

Ответ \(1\) верен при \(\sin\alpha\ne0\) и \(\cos\alpha\ne0\).