1.70,1.72,1.73

Понял, извини. Дальше буду сразу писать полное готовое решение со всеми действиями и ответом, чтобы ты мог(ла) просто переписать в тетрадь.

Хорошо. Пришли следующее задание — сразу оформлю полное решение.

Исправляю предыдущий ответ: в задании 1.70(1) стоит знак \(<81\), поэтому окружность в решение не входит.

1.70. Решите неравенства графически

При строгих знаках \(<\) и \(>\) граница не входит в решение и изображается пунктиром.

1) \(\;x^2+y^2<81\)

Граница области:

\[ x^2+y^2=81. \]

Это окружность с центром \(O(0;0)\) и радиусом

\[ R=\sqrt{81}=9. \]

Так как стоит знак \(<\), берём внутреннюю область окружности, но саму окружность не включаем.

Ответ: внутренняя часть круга с центром \(O(0;0)\) и радиусом \(9\), без границы.

---

2) \(\;x^2+y^2>9\)

Граница области:

\[ x^2+y^2=9. \]

Это окружность с центром \(O(0;0)\) и радиусом

\[ R=3. \]

Так как стоит знак \(>\), берём внешнюю область окружности, не включая её.

Ответ: внешняя часть окружности \(x^2+y^2=9\), сама окружность не входит.

---

3) \(\;(x-3)^2+(y+1)^2<25\)

Граница области:

\[ (x-3)^2+(y+1)^2=25. \]

Это окружность с центром

\[ O(3;-1) \]

и радиусом

\[ R=5. \]

Так как стоит знак \(<\), берём внутреннюю область круга, не включая окружность.

Ответ: внутренняя часть круга с центром \((3;-1)\) и радиусом \(5\), без границы.

---

1.72

Круг с центром в начале координат и радиусом \(3\) задаётся неравенством:

\[ x^2+y^2\le 3^2, \]

\[ x^2+y^2\le9. \]

1) \(A(-1;2)\)

\[ (-1)^2+2^2=1+4=5. \]

\[ 5<9. \]

Следовательно, точка \(A\) лежит в круге.

---

2) \(B(0;-5)\)

\[ 0^2+(-5)^2=25. \]

\[ 25>9. \]

Следовательно, точка \(B\) не лежит в круге.

---

3) \(C\left(\frac13;4\right)\)

\[ \left(\frac13\right)^2+4^2 =\frac19+16 =\frac{145}{9}. \]

\[ \frac{145}{9}>9. \]

Следовательно, точка \(C\) не лежит в круге.

---

4) \(D(2;2)\)

\[ 2^2+2^2=4+4=8. \]

\[ 8<9. \]

Следовательно, точка \(D\) лежит в круге.

Ответ: в круге лежат точки

\[ \boxed{A\text{ и }D}. \]

Точки \(B\) и \(C\) в круге не лежат.

---

1.73. Решите неравенства графически

1) \(\;y\le3x^2\)

Строим параболу

\[ y=3x^2. \]

Её вершина — точка \(O(0;0)\), ветви направлены вверх.

Так как стоит знак \(\le\), параболу включаем в решение и заштриховываем область ниже неё.

Ответ: область, расположенная ниже параболы \(y=3x^2\), включая саму параболу.

---

2) \(\;y\ge2x^2-3\)

Строим параболу

\[ y=2x^2-3. \]

Вершина параболы:

\[ (0;-3). \]

Ветви направлены вверх.

Так как стоит знак \(\ge\), параболу включаем в решение и заштриховываем область выше неё.

Ответ: область, расположенная выше параболы \(y=2x^2-3\), включая саму параболу.

---

3) \(\;y<x^2-3x+2\)

Строим параболу

\[ y=x^2-3x+2. \]

Найдём координаты её вершины:

\[ x_0=-\frac{b}{2a}=\frac{3}{2}, \]

\[ y_0=\left(\frac32\right)^2-3\cdot\frac32+2 =\frac94-\frac92+2 =-\frac14. \]

Вершина:

\[ \left(\frac32;-\frac14\right). \]

Так как стоит знак \(<\), параболу изображаем пунктиром и заштриховываем область ниже неё.

Ответ: область ниже параболы

\[ y=x^2-3x+2, \]

сама парабола не входит.

---

4) \(\;x^2+y^2-2x+4y\ge4\)

Сгруппируем слагаемые и выделим полный квадрат:

\[ x^2-2x+y^2+4y\ge4, \]

\[ (x-1)^2-1+(y+2)^2-4\ge4, \]

\[ (x-1)^2+(y+2)^2\ge9. \]

Граница области:

\[ (x-1)^2+(y+2)^2=9. \]

Это окружность с центром

\[ O(1;-2) \]

и радиусом

\[ R=3. \]

Так как стоит знак \(\ge\), берём внешнюю область окружности и саму окружность включаем.

Ответ: внешняя область круга с центром \((1;-2)\) и радиусом \(3\), включая окружность.

---

5) \(\;xy<5\)

Граница области задаётся уравнением:

\[ xy=5, \]

или

\[ y=\frac5x. \]

Это гипербола с ветвями в I и III координатных четвертях. Гипербола не входит в решение.

Рассмотрим два случая.

Если \(x>0\), то при делении знак неравенства не изменяется:

\[ y<\frac5x. \]

Если \(x<0\), то при делении на отрицательное число знак меняется:

\[ y>\frac5x. \]

При \(x=0\) или \(y=0\):

\[ xy=0<5, \]

поэтому координатные оси входят в решение.

Ответ:

\[ \boxed{ \begin{cases} y<\dfrac5x,&x>0,\\[6pt] y>\dfrac5x,&x<0. \end{cases}} \]

Гипербола \(xy=5\) не входит в решение. Заштриховывается область, содержащая начало координат.

---

6) \(\;y>\dfrac{x-1}{x+1}\)

Построим график функции:

\[ y=\frac{x-1}{x+1}. \]

Преобразуем дробь:

\[ \frac{x-1}{x+1} =\frac{(x+1)-2}{x+1} =1-\frac2{x+1}. \]

Асимптоты гиперболы:

\[ x=-1,\qquad y=1. \]

Так как стоит знак \(>\), заштриховываем область выше обеих ветвей гиперболы. Граница не входит.

При \(x=-1\) дробь не определена, поэтому прямая \(x=-1\) также не входит в решение.

Ответ: область, расположенная выше гиперболы

\[ y=\frac{x-1}{x+1}, \]

при этом

\[ x\ne-1. \]

\[ \boxed{1.70} \]

\[ 1)\quad x^2+y^2=81,\qquad O(0;0),\qquad R=9 \]

\[ \boxed{D_1=\left\{(x;y)\in\mathbb R^2\mid x^2+y^2\le81\right\}} \]

\[ 2)\quad x^2+y^2=9,\qquad O(0;0),\qquad R=3 \]

\[ \boxed{D_2=\left\{(x;y)\in\mathbb R^2\mid x^2+y^2>9\right\}} \]

\[ 3)\quad (x-3)^2+(y+1)^2=25, \qquad O(3;-1),\qquad R=5 \]

\[ \boxed{D_3=\left\{(x;y)\in\mathbb R^2\mid (x-3)^2+(y+1)^2<25\right\}} \]

Нет, в первом пункте я ошибся: вместо \(<81\) написал \(\le81\). Правильно:

\[ \boxed{1.70} \]

\[ 1)\quad x^2+y^2=81,\qquad O(0;0),\qquad R=9 \]

\[ \boxed{x^2+y^2<81} \]

\[ 2)\quad x^2+y^2=9,\qquad O(0;0),\qquad R=3 \]

\[ \boxed{x^2+y^2>9} \]

\[ 3)\quad (x-3)^2+(y+1)^2=25,\qquad O(3;-1),\qquad R=5 \]

\[ \boxed{(x-3)^2+(y+1)^2<25} \]

Да, ты прав(а): прошлый ответ был неполным — нужно указать область на графике.

\[ \boxed{1.70} \]

1)

\[ x^2+y^2=81,\qquad O(0;0),\qquad R=9 \]

\[ (0;0):\quad 0<81 \]

\[ \boxed{\text{Внутренняя область окружности }x^2+y^2=81} \]

\[ \boxed{x^2+y^2<81} \]

Граница — пунктирная.

---

2)

\[ x^2+y^2=9,\qquad O(0;0),\qquad R=3 \]

\[ (0;0):\quad 0>9\quad\text{— неверно} \]

\[ \boxed{\text{Внешняя область окружности }x^2+y^2=9} \]

\[ \boxed{x^2+y^2>9} \]

Граница — пунктирная.

---

3)

\[ (x-3)^2+(y+1)^2=25, \]

\[ O(3;-1),\qquad R=5 \]

\[ (3;-1):\quad 0<25 \]

\[ \boxed{\text{Внутренняя область окружности } (x-3)^2+(y+1)^2=25} \]

\[ \boxed{(x-3)^2+(y+1)^2<25} \]

Граница — пунктирная.

Да, вот границы. Все окружности рисуются пунктиром.

1) \(\;x^2+y^2=81\)

\[ O(0;0),\qquad R=9 \]

                         (0;9)
                            ⋯
                    ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯
                 ⋯                 ⋯
              ⋯                       ⋯
(-9;0) ⋯⋯⋯⋯⋯       O(0;0)       ⋯⋯⋯⋯⋯ (9;0)
              ⋯                       ⋯
                 ⋯                 ⋯
                    ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯
                            ⋯
                         (0;-9)

Заштриховать внутри окружности:

\[ x^2+y^2<81. \]

---

2) \(\;x^2+y^2=9\)

\[ O(0;0),\qquad R=3 \]

                         (0;3)
                            ⋯
                       ⋯⋯⋯⋯⋯
                    ⋯           ⋯
(-3;0) ⋯⋯⋯⋯⋯       O(0;0)       ⋯⋯⋯⋯⋯ (3;0)
                    ⋯           ⋯
                       ⋯⋯⋯⋯⋯
                            ⋯
                         (0;-3)

Заштриховать снаружи окружности:

\[ x^2+y^2>9. \]

---

3) \(\;(x-3)^2+(y+1)^2=25\)

\[ O(3;-1),\qquad R=5 \]

                              (3;4)
                                 ⋯
                         ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯
                     ⋯                 ⋯
(-2;-1) ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯       O(3;-1)       ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ (8;-1)
                     ⋯                 ⋯
                         ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯
                                 ⋯
                              (3;-6)

Заштриховать внутри окружности:

\[ (x-3)^2+(y+1)^2<25. \]

Пришли фото или перепиши условие упражнения 1.69 — без самого условия точно решить нельзя.

Это продолжение задания: на фото упражнение 1.69.

\[ \boxed{1.69} \]

1) \(\;y>3x-4\)

\[ y=3x-4 \]

\[ (0;-4),\qquad (1;-1) \]

Граница — пунктирная прямая. Заштриховать область выше прямой:

\[ \boxed{y>3x-4} \]

---

2) \(\;y\le5-x\)

\[ y=5-x \]

\[ (0;5),\qquad (5;0) \]

Граница — сплошная прямая. Заштриховать область ниже прямой:

\[ \boxed{y\le5-x} \]

---

3) \(\;x+y\ge2\)

\[ y=2-x \]

\[ (0;2),\qquad (2;0) \]

Граница — сплошная прямая. Заштриховать область выше прямой:

\[ \boxed{y\ge2-x} \]

---

4) \(\;0{,}5y-x<3\)

\[ 0{,}5y<x+3 \]

\[ y<2x+6 \]

\[ y=2x+6 \]

\[ (-3;0),\qquad (0;6) \]

Граница — пунктирная прямая. Заштриховать область ниже прямой:

\[ \boxed{y<2x+6} \]