Номер 970

Ответ: \[ \boxed{\overrightarrow{EC}=\vec a+\frac12\vec b},\qquad \boxed{\overrightarrow{AG}=\vec a+\frac12\vec b}. \]

Решение:

В параллелограмме противоположные стороны равны и сонаправлены, поэтому \[ \overrightarrow{AD}=\overrightarrow{BC}=\vec b,\qquad \overrightarrow{AB}=\overrightarrow{DC}=\vec a. \]

Так как \(E\) — середина \(AD\), то \[ \overrightarrow{ED}=\frac12\overrightarrow{AD}=\frac12\vec b. \] Следовательно, \[ \overrightarrow{EC} =\overrightarrow{ED}+\overrightarrow{DC} =\frac12\vec b+\vec a =\vec a+\frac12\vec b. \]

Так как \(G\) — середина \(BC\), то \[ \overrightarrow{BG}=\frac12\overrightarrow{BC}=\frac12\vec b. \] Тогда \[ \overrightarrow{AG} =\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BG} =\vec a+\frac12\vec b. \]

Проверка: оба вектора равны \[ \overrightarrow{EC}=\overrightarrow{AG}. \]