Формулы и определения по кинематике
Краткий ответ: кинематика описывает движение тел, не рассматривая причины движения. Основные формулы:
\[ \bar v=\frac{l}{t},\qquad a=\frac{v-v_0}{t},\qquad v=v_0+at, \]
\[ s=v_0t+\frac{at^2}{2},\qquad v^2-v_0^2=2as. \]
Здесь \(l\) — путь, \(s\) — перемещение, \(v_0\) — начальная скорость, \(v\) — конечная скорость, \(a\) — ускорение.
1. Основные определения
- Механическое движение — изменение положения тела относительно других тел с течением времени.
- Система отсчёта состоит из:
- тела отсчёта;
- системы координат;
- часов.
- Материальная точка — тело, размерами которого в данной задаче можно пренебречь.
- Траектория — линия, по которой движется тело.
- Путь \(l\) — длина траектории. Это скалярная величина, \(l\ge 0\).
- Перемещение \(\vec s\) — направленный отрезок от начального положения тела к конечному.
Всегда:
\[ |\vec s|\le l. \]
Если тело движется прямо и не меняет направление, путь и модуль перемещения равны.
2. Скорость
Скорость показывает, какой путь тело проходит за единицу времени.
Средняя путевая скорость:
\[ \bar v=\frac{l}{t}. \]
Единица измерения:
\[ [v]=\frac{\text{м}}{\text{с}}. \]
Для равномерного прямолинейного движения:
\[ v=\text{const},\qquad l=vt. \]
Координата тела:
\[ x=x_0+vt. \]
3. Ускорение
Ускорение показывает, как быстро изменяется скорость:
\[ a=\frac{v-v_0}{t}. \]
Единица измерения:
\[ [a]=\frac{\text{м}}{\text{с}^2}. \]
Если скорость увеличивается, ускорение направлено так же, как скорость. Если скорость уменьшается — противоположно скорости.
4. Равноускоренное движение
При равноускоренном движении:
\[ a=\text{const}. \]
Основные формулы:
\[ v=v_0+at; \]
\[ s=v_0t+\frac{at^2}{2}; \]
\[ x=x_0+v_0t+\frac{at^2}{2}; \]
\[ s=\frac{v_0+v}{2}\,t; \]
\[ v^2-v_0^2=2as. \]
Если тело начинает движение из состояния покоя, то \(v_0=0\):
\[ v=at,\qquad s=\frac{at^2}{2}. \]
Важно: если выбрано положительное направление оси, величины, направленные в противоположную сторону, записываются со знаком «минус».
5. Свободное падение
Свободное падение — движение тела только под действием силы тяжести, если сопротивлением воздуха пренебречь.
Ускорение свободного падения:
\[ g\approx 9{,}8\ \text{м/с}^2\approx 10\ \text{м/с}^2. \]
Если тело падает без начальной скорости:
\[ v=gt; \]
\[ h=\frac{gt^2}{2}; \]
\[ v^2=2gh. \]
При выборе оси вверх:
\[ v_y=v_{0y}-gt, \]
\[ y=y_0+v_{0y}t-\frac{gt^2}{2}. \]
6. Равномерное движение по окружности
При движении по окружности модуль скорости может быть постоянным, но её направление всё время изменяется.
Период:
\[ T=\frac{t}{N}, \]
где \(N\) — число оборотов.
Частота:
\[ \nu=\frac{N}{t}=\frac{1}{T}. \]
Линейная скорость:
\[ v=\frac{2\pi R}{T}=2\pi R\nu. \]
Центростремительное ускорение:
\[ a_{\text{ц}}=\frac{v^2}{R}. \]
Оно направлено к центру окружности.
7. Как решать задачи по кинематике
- Записать известные величины и перевести их в СИ.
- Выбрать положительное направление оси.
- Определить вид движения.
- Выбрать подходящую формулу.
- Подставить числа со знаками.
- Проверить единицы и смысл ответа.
Пример
Дано:
\[ v_0=3\ \text{м/с},\qquad a=2\ \text{м/с}^2,\qquad t=4\ \text{с}. \]
Конечная скорость:
\[ v=v_0+at=3+2\cdot4=11\ \text{м/с}. \]
Перемещение:
\[ s=v_0t+\frac{at^2}{2} =3\cdot4+\frac{2\cdot4^2}{2} =12+16=28\ \text{м}. \]
Проверка:
\[ s=\frac{v_0+v}{2}t =\frac{3+11}{2}\cdot4=28\ \text{м}. \]
Ответ согласуется по единицам и по двум формулам.
