Реши номер 1112
Краткий ответ: \(\boxed{25\text{ см}^2}\).
Площадь четырёхугольника через его диагонали:
\[ S=\frac12 d_1d_2\sin\varphi, \]
где \(d_1,d_2\) — диагонали, а \(\varphi\) — угол между ними.
У прямоугольника обе диагонали равны \(10\) см, поэтому:
\[ S=\frac12\cdot 10\cdot 10\cdot\sin30^\circ =50\cdot\frac12=25\text{ см}^2. \]
Проверка: если стороны прямоугольника равны \(a\) и \(b\), то
\[ \sin30^\circ=\frac{2ab}{a^2+b^2},\qquad a^2+b^2=10^2. \]
Тогда \(ab=25\), а \(ab\) — это площадь прямоугольника.
Обсуждение
3 сообщенияРеш. Номер 1115
Реши номер 1115
В треугольнике \(ABC\):
\[ AC=12\text{ см},\qquad \angle A=75^\circ,\qquad \angle C=60^\circ. \]
Найдём третий угол:
\[ \angle B=180^\circ-75^\circ-60^\circ=45^\circ. \]
По теореме синусов:
\[ \frac{AB}{\sin C}=\frac{AC}{\sin B}, \]
\[ AB=\frac{12\sin60^\circ}{\sin45^\circ} =\frac{12\cdot \frac{\sqrt3}{2}}{\frac{\sqrt2}{2}} =6\sqrt6\text{ см}. \]
Площадь найдём по двум сторонам и углу между ними:
\[ S_{ABC}=\frac12\cdot AC\cdot AB\cdot\sin A, \]
\[ S_{ABC}=\frac12\cdot12\cdot6\sqrt6\cdot\sin75^\circ. \]
Так как
\[ \sin75^\circ=\frac{\sqrt6+\sqrt2}{4}, \]
то
\[ S_{ABC}=54+18\sqrt3\text{ см}^2. \]
Ответ:
\[ \boxed{AB=6\sqrt6\text{ см}},\qquad \boxed{S_{ABC}=54+18\sqrt3\text{ см}^2}. \]
