Реши задание на изображении
О3.21
а) \(12-3x\ge0,\ x+2\ge0\Rightarrow x\in[-2;4]\).
б) \(15-3x\ge0,\ x+4\ge0\Rightarrow x\in[-4;5]\).
О3.22
а) \((x-3)(x-5)\ge0,\ (1-x)(7-x)\ge0\Rightarrow x\in(-\infty;1]\cup[7;+\infty)\).
б) \(\displaystyle \frac{3x+2}{5-x}\ge0,\ \frac{4-x}{7-2x}\ge0\Rightarrow x\in\left[-\frac23;\frac72\right)\cup[4;5)\).
О3.23
а) \(x^2-16\ge0,\ 7x-x^2\ge0\Rightarrow x\in[4;7]\).
б) \((x-1)(x-2)\ge0,\ 9-x^2\ge0\Rightarrow x\in[-3;1]\cup[2;3]\).
Обсуждение
2 сообщенияРаспиши каждый пример. Вместе с оформлением,решением,обьяснением и f(x) и D(f) и f(x)=0
Разберём все примеры подробно.
Для системы неравенств решения каждого неравенства пересекаем:
\[ S=S_1\cap S_2. \]
\(D(f)\) — область определения функции, а \(f(x)=0\) — её нули. Нули при неравенстве \(\ge 0\) включаются, а значения, при которых знаменатель равен нулю, исключаются.
О3.21
а)
\[ \begin{cases} 12-3x\ge 0,\\ x+2\ge 0. \end{cases} \]
1) Неравенство \(12-3x\ge0\)
Обозначим:
\[ f_1(x)=12-3x. \]
Область определения:
\[ D(f_1)=\mathbb R. \]
Найдём нуль функции:
\[ f_1(x)=0, \]
\[ 12-3x=0, \]
\[ -3x=-12, \]
\[ x=4. \]
Так как коэффициент при \(x\) отрицательный, функция положительна слева от \(4\):
\[ 12-3x\ge0 \quad\Longrightarrow\quad x\le4. \]
\[ S_1=(-\infty;4]. \]
2) Неравенство \(x+2\ge0\)
\[ f_2(x)=x+2. \]
\[ D(f_2)=\mathbb R. \]
Нуль функции:
\[ f_2(x)=0, \]
\[ x+2=0, \]
\[ x=-2. \]
Функция неотрицательна справа от корня:
\[ x+2\ge0 \quad\Longrightarrow\quad x\ge-2. \]
\[ S_2=[-2;+\infty). \]
Пересекаем решения:
\[ S=S_1\cap S_2 \]
\[ S=(-\infty;4]\cap[-2;+\infty). \]
Ответ:
\[ \boxed{x\in[-2;4]}. \]
б)
\[ \begin{cases} 15-3x\ge0,\\ x+4\ge0. \end{cases} \]
1) Неравенство \(15-3x\ge0\)
\[ f_1(x)=15-3x, \qquad D(f_1)=\mathbb R. \]
Найдём нуль:
\[ 15-3x=0, \]
\[ -3x=-15, \]
\[ x=5. \]
Следовательно,
\[ 15-3x\ge0 \quad\Longrightarrow\quad x\le5. \]
\[ S_1=(-\infty;5]. \]
2) Неравенство \(x+4\ge0\)
\[ f_2(x)=x+4, \qquad D(f_2)=\mathbb R. \]
\[ f_2(x)=0: \]
\[ x+4=0, \]
\[ x=-4. \]
Тогда
\[ x+4\ge0 \quad\Longrightarrow\quad x\ge-4. \]
\[ S_2=[-4;+\infty). \]
Пересекаем:
\[ S=(-\infty;5]\cap[-4;+\infty). \]
Ответ:
\[ \boxed{x\in[-4;5]}. \]
О3.22
а)
\[ \begin{cases} (x-3)(x-5)\ge0,\\ (1-x)(7-x)\ge0. \end{cases} \]
1) Неравенство \((x-3)(x-5)\ge0\)
\[ f_1(x)=(x-3)(x-5). \]
Это многочлен, поэтому
\[ D(f_1)=\mathbb R. \]
Нули функции:
\[ f_1(x)=0, \]
\[ (x-3)(x-5)=0. \]
Произведение равно нулю, если хотя бы один множитель равен нулю:
\[ x-3=0 \quad\Longrightarrow\quad x=3, \]
\[ x-5=0 \quad\Longrightarrow\quad x=5. \]
Знаки функции:
\[ \begin{array}{c|ccccc} x&(-\infty;3)&3&(3;5)&5&(5;+\infty)\\ \hline f_1(x)&+&0&-&0&+ \end{array} \]
Нам нужны промежутки, где \(f_1(x)\ge0\):
\[ S_1=(-\infty;3]\cup[5;+\infty). \]
2) Неравенство \((1-x)(7-x)\ge0\)
\[ f_2(x)=(1-x)(7-x). \]
\[ D(f_2)=\mathbb R. \]
Нули функции:
\[ (1-x)(7-x)=0. \]
\[ 1-x=0 \quad\Longrightarrow\quad x=1, \]
\[ 7-x=0 \quad\Longrightarrow\quad x=7. \]
Знаки:
\[ \begin{array}{c|ccccc} x&(-\infty;1)&1&(1;7)&7&(7;+\infty)\\ \hline f_2(x)&+&0&-&0&+ \end{array} \]
Поэтому
\[ S_2=(-\infty;1]\cup[7;+\infty). \]
Пересечение решений:
\[ S=\bigl((-\infty;3]\cup[5;+\infty)\bigr) \cap \bigl((-\infty;1]\cup[7;+\infty)\bigr). \]
Ответ:
\[ \boxed{x\in(-\infty;1]\cup[7;+\infty)}. \]
б)
\[ \begin{cases} \dfrac{3x+2}{5-x}\ge0,\\[6pt] \dfrac{4-x}{7-2x}\ge0. \end{cases} \]
1) Неравенство \(\dfrac{3x+2}{5-x}\ge0\)
\[ f_1(x)=\frac{3x+2}{5-x}. \]
Знаменатель не должен быть равен нулю:
\[ 5-x\ne0, \]
\[ x\ne5. \]
Поэтому
\[ D(f_1)=\mathbb R\setminus\{5\}. \]
Нуль функции находится из условия равенства числителя нулю:
\[ f_1(x)=0, \]
\[ 3x+2=0, \]
\[ 3x=-2, \]
\[ x=-\frac23. \]
Критические точки:
\[ -\frac23,\qquad 5. \]
Таблица знаков:
\[ \begin{array}{c|ccccc} x& (-\infty;-\frac23)& -\frac23& (-\frac23;5)& 5& (5;+\infty) \\ \hline 3x+2&-&0&+&+&+\\ 5-x&+&+&+&0&-\\ \hline f_1(x)&-&0&+&\text{не определена}&- \end{array} \]
Нам нужны значения \(f_1(x)\ge0\):
\[ S_1=\left[-\frac23;5\right). \]
Число \(5\) не включается, потому что оно не входит в область определения.
2) Неравенство \(\dfrac{4-x}{7-2x}\ge0\)
\[ f_2(x)=\frac{4-x}{7-2x}. \]
Знаменатель не должен быть равен нулю:
\[ 7-2x\ne0, \]
\[ 2x\ne7, \]
\[ x\ne\frac72. \]
Область определения:
\[ D(f_2)=\mathbb R\setminus\left\{\frac72\right\}. \]
Нуль функции:
\[ f_2(x)=0. \]
Нулю должен быть равен числитель:
\[ 4-x=0, \]
\[ x=4. \]
Таблица знаков:
\[ \begin{array}{c|ccccc} x& (-\infty;\frac72)& \frac72& (\frac72;4)& 4& (4;+\infty) \\ \hline 4-x&+&+&+&0&-\\ 7-2x&+&0&-&-&-\\ \hline f_2(x)&+&\text{не определена}&-&0&+ \end{array} \]
Следовательно,
\[ S_2=\left(-\infty;\frac72\right)\cup[4;+\infty). \]
Пересекаем решения:
\[ S=\left[-\frac23;5\right) \cap \left(\left(-\infty;\frac72\right)\cup[4;+\infty)\right). \]
Ответ:
\[ \boxed{x\in\left[-\frac23;\frac72\right)\cup[4;5)}. \]
О3.23
а)
\[ \begin{cases} x^2-16\ge0,\\ 7x-x^2\ge0. \end{cases} \]
1) Неравенство \(x^2-16\ge0\)
\[ f_1(x)=x^2-16. \]
\[ D(f_1)=\mathbb R. \]
Нули функции:
\[ f_1(x)=0, \]
\[ x^2-16=0, \]
\[ x^2=16, \]
\[ x=\pm4. \]
То есть
\[ x_1=-4,\qquad x_2=4. \]
Разложим на множители:
\[ x^2-16=(x-4)(x+4). \]
Таблица знаков:
\[ \begin{array}{c|ccccc} x&(-\infty;-4)&-4&(-4;4)&4&(4;+\infty)\\ \hline f_1(x)&+&0&-&0&+ \end{array} \]
Поэтому
\[ S_1=(-\infty;-4]\cup[4;+\infty). \]
2) Неравенство \(7x-x^2\ge0\)
\[ f_2(x)=7x-x^2. \]
\[ D(f_2)=\mathbb R. \]
Нули функции:
\[ f_2(x)=0, \]
\[ 7x-x^2=0, \]
\[ x(7-x)=0. \]
Отсюда
\[ x=0 \quad\text{или}\quad x=7. \]
Знаки:
\[ \begin{array}{c|ccccc} x&(-\infty;0)&0&(0;7)&7&(7;+\infty)\\ \hline f_2(x)&-&0&+&0&- \end{array} \]
Следовательно,
\[ S_2=[0;7]. \]
Пересекаем:
\[ S=\bigl((-\infty;-4]\cup[4;+\infty)\bigr)\cap[0;7]. \]
Общая часть:
\[ [4;7]. \]
Ответ:
\[ \boxed{x\in[4;7]}. \]
б)
\[ \begin{cases} (x-1)(x-2)\ge0,\\ 9-x^2\ge0. \end{cases} \]
1) Неравенство \((x-1)(x-2)\ge0\)
\[ f_1(x)=(x-1)(x-2). \]
\[ D(f_1)=\mathbb R. \]
Нули функции:
\[ f_1(x)=0, \]
\[ (x-1)(x-2)=0. \]
\[ x-1=0 \quad\Longrightarrow\quad x=1, \]
\[ x-2=0 \quad\Longrightarrow\quad x=2. \]
Таблица знаков:
\[ \begin{array}{c|ccccc} x&(-\infty;1)&1&(1;2)&2&(2;+\infty)\\ \hline f_1(x)&+&0&-&0&+ \end{array} \]
Отсюда
\[ S_1=(-\infty;1]\cup[2;+\infty). \]
2) Неравенство \(9-x^2\ge0\)
\[ f_2(x)=9-x^2. \]
\[ D(f_2)=\mathbb R. \]
Нули функции:
\[ f_2(x)=0, \]
\[ 9-x^2=0, \]
\[ x^2=9, \]
\[ x=\pm3. \]
То есть
\[ x=-3,\qquad x=3. \]
Разложим на множители:
\[ 9-x^2=(3-x)(3+x). \]
Знаки функции:
\[ \begin{array}{c|ccccc} x&(-\infty;-3)&-3&(-3;3)&3&(3;+\infty)\\ \hline f_2(x)&-&0&+&0&- \end{array} \]
Поэтому
\[ S_2=[-3;3]. \]
Пересекаем решения:
\[ S=\bigl((-\infty;1]\cup[2;+\infty)\bigr)\cap[-3;3]. \]
Получаем:
\[ S=[-3;1]\cup[2;3]. \]
Ответ:
\[ \boxed{x\in[-3;1]\cup[2;3]}. \]
