Реши задание на изображении
Краткие ответы:
- \(AC=10\)
- \(AC=3\)
- \(BC=15\)
- Наибольшая сторона — \(BC\)
- \(AB=11\)
- \(AB=16\)
Основной принцип
Теорема синусов:
\[ \frac{a}{\sin A}=\frac{b}{\sin B}=\frac{c}{\sin C}, \]
где сторона лежит напротив соответствующего угла. Также используется расширенная теорема синусов:
\[ \frac{a}{\sin A}=2R. \]
1
Сторона \(BC\) лежит напротив угла \(A\), а \(AC\) — напротив угла \(B\):
\[ \frac{AC}{\sin45^\circ}=\frac{5\sqrt6}{\sin60^\circ}. \]
\[ AC=5\sqrt6\cdot\frac{\sin45^\circ}{\sin60^\circ} =5\sqrt6\cdot\frac{\frac{\sqrt2}{2}}{\frac{\sqrt3}{2}} =10. \]
\[ \boxed{AC=10} \]
2
\[ \frac{AC}{\sin30^\circ}= \frac{3\sqrt2}{\sin45^\circ}. \]
\[ AC=3\sqrt2\cdot\frac{\frac12}{\frac{\sqrt2}{2}}=3. \]
\[ \boxed{AC=3} \]
3
Здесь \(AC\) лежит напротив угла \(B\), а \(BC\) — напротив угла \(A\):
\[ \frac{BC}{\sin120^\circ}= \frac{5\sqrt3}{\sin30^\circ}. \]
\[ BC=5\sqrt3\cdot\frac{\sin120^\circ}{\sin30^\circ} =5\sqrt3\cdot\frac{\frac{\sqrt3}{2}}{\frac12} =15. \]
\[ \boxed{BC=15} \]
4
По рисунку:
\[ \angle B=30^\circ,\qquad \angle C=15^\circ. \]
Тогда
\[ \angle A=180^\circ-30^\circ-15^\circ=135^\circ. \]
Наибольшая сторона треугольника лежит напротив наибольшего угла. Угол \(A\) наибольший, значит, напротив него лежит сторона \(BC\).
\[ \boxed{BC\text{ — наибольшая сторона}} \]
5
Сторона \(AB\) лежит напротив угла \(C\). По расширенной теореме синусов:
\[ AB=2R\sin C. \]
\[ AB=2\cdot11\cdot\sin30^\circ =22\cdot\frac12=11. \]
\[ \boxed{AB=11} \]
6
Сначала найдём третий угол:
\[ \angle C=180^\circ-21^\circ-24^\circ=135^\circ. \]
Сторона \(AB\) лежит напротив угла \(C\):
\[ AB=2R\sin C. \]
\[ AB=2\cdot8\sqrt2\cdot\sin135^\circ =16\sqrt2\cdot\frac{\sqrt2}{2}=16. \]
\[ \boxed{AB=16} \]
Проверка: в №4 самый большой угол \(135^\circ\), поэтому и сторона \(BC\) действительно самая большая.
