Реши
Краткий ответ
Рассмотрим функцию
\[
y=\log_a x,\qquad a>0,\ a\ne1.
\]
| Свойство | При \(a>1\) | При \(0<a<1\) |
|---|---|---|
| Область определения | \(D(y)=(0;+\infty)\) | \(D(y)=(0;+\infty)\) |
| Область значений | \(E(y)=\mathbb R\) | \(E(y)=\mathbb R\) |
| Чётность | ни чётная, ни нечётная | ни чётная, ни нечётная |
| Пересечение с осью \(Ox\) | \((1;0)\) | \((1;0)\) |
| Знак функции | \(y<0\) при \(x\in(0;1)\); \(y>0\) при \(x\in(1;+\infty)\) | \(y>0\) при \(x\in(0;1)\); \(y<0\) при \(x\in(1;+\infty)\) |
| Монотонность | возрастает | убывает |
| Непрерывность | непрерывна на \((0;+\infty)\) | непрерывна на \((0;+\infty)\) |
Объяснение
- Область определения
Логарифм существует только при положительном аргументе:
\[ x>0. \]
Поэтому
\[ D(y)=(0;+\infty). \]
- Область значений
Из равенства
\[ y=\log_a x \]
следует
\[ x=a^y. \]
Число \(y\) может быть любым действительным, значит,
\[ E(y)=\mathbb R. \]
- Точка пересечения с осью \(Ox\)
На оси \(Ox\) значение \(y=0\):
\[ \log_a x=0. \]
Так как \(a^0=1\), то
\[ x=1. \]
График проходит через точку
\[ (1;0). \]
- Знак функции
Если \(a>1\), функция возрастает: \[ 0<x<1\Rightarrow \log_a x<0, \qquad x>1\Rightarrow \log_a x>0. \]
Если \(0<a<1\), функция убывает, поэтому знаки меняются местами: \[ 0<x<1\Rightarrow \log_a x>0, \qquad x>1\Rightarrow \log_a x<0. \]
- Чётность
Область определения содержит только положительные числа и не симметрична относительно нуля. Поэтому функция не является ни чётной, ни нечётной.
- Непрерывность
Логарифмическая функция непрерывна на всей области определения:
\[ (0;+\infty). \]
Проверка на примерах
При \(a=2>1\):
\[ \log_2\frac14=-2<0,\qquad \log_2 4=2>0. \]
Функция возрастает.
При \(a=\frac12\):
\[ \log_{\frac12}\frac14=2>0,\qquad \log_{\frac12}4=-2<0. \]
Функция убывает.
Обсуждение
2 сообщенияПокажи, как построить график по этим свойствам
Для функции
\[
y=\log_a x,\qquad a>0,\ a\ne1,
\]
график строят по нескольким основным точкам и свойствам.
1. Общие шаги построения
Шаг 1. Проведи оси координат
График существует только при \(x>0\), поэтому слева от оси \(Oy\) точек графика не будет.
Ось \(Oy\), то есть прямая \(x=0\), является вертикальной асимптотой.
Шаг 2. Отметь обязательную точку
\[ \log_a 1=0, \]
поэтому график всегда проходит через точку
\[ (1;0). \]
Шаг 3. Отметь ещё две точки
Используем свойства логарифма:
\[ \log_a a=1,\qquad \log_a\frac1a=-1. \]
Получаем точки:
\[ (a;1),\qquad \left(\frac1a;-1\right). \]
Шаг 4. Соедини точки плавной кривой
Кривая не пересекает ось \(Oy\) и приближается к ней.
2. Если \(a>1\)
Функция возрастает.
Например, для \(y=\log_2x\):
\[ \begin{array}{c|ccccc} x&\frac14&\frac12&1&2&4\\ \hline y&-2&-1&0&1&2 \end{array} \]
Основные точки:
\[ \left(\frac12;-1\right),\quad (1;0),\quad (2;1). \]
Схематично:
y
↑
2| ●
1| ●
0|---------●----------------------→ x
-1| ●
-2| ●
|
| x=0 — вертикальная асимптота
При этом:
\[ x\to0+ \Rightarrow y\to-\infty, \qquad x\to+\infty \Rightarrow y\to+\infty. \]
3. Если \(0<a<1\)
Функция убывает.
Например, для
\[ y=\log_{\frac12}x \]
получаем:
\[ \begin{array}{c|ccccc} x&\frac14&\frac12&1&2&4\\ \hline y&2&1&0&-1&-2 \end{array} \]
Основные точки:
\[ \left(\frac12;1\right),\quad (1;0),\quad (2;-1). \]
Схематично:
y
↑
2| ●
1| ●
0|---------●----------------------→ x
-1| ●
-2| ●
|
| x=0 — вертикальная асимптота
В этом случае:
\[ x\to0+ \Rightarrow y\to+\infty, \qquad x\to+\infty \Rightarrow y\to-\infty. \]
Итог: при \(a>1\) строим возрастающую кривую, а при \(0<a<1\) — убывающую. фигура строится через точки \((1;0)\), \((a;1)\) и \(\left(\frac1a;-1\right)\).
