Реши номер 1115

Краткий ответ: \[ \boxed{AB=6\sqrt6\text{ см}},\qquad \boxed{S_{ABC}=54+18\sqrt3\text{ см}^2}. \]

Решение

1. Найдём третий угол: \[ \angle B=180^\circ-75^\circ-60^\circ=45^\circ. \]

2. По теореме синусов: \[ \frac{AB}{\sin C}=\frac{AC}{\sin B}. \] Подставим данные: \[ AB=\frac{12\sin60^\circ}{\sin45^\circ} =12\cdot\frac{\frac{\sqrt3}{2}}{\frac{\sqrt2}{2}} =6\sqrt6\text{ см}. \]

3. Площадь найдём по двум сторонам и углу между ними: \[ S_{ABC}=\frac12\cdot AC\cdot AB\cdot\sin A. \] \[ S_{ABC}=\frac12\cdot12\cdot6\sqrt6\cdot\sin75^\circ. \] Так как \[ \sin75^\circ=\frac{\sqrt6+\sqrt2}{4}, \] то \[ S_{ABC}=36\sqrt6\cdot\frac{\sqrt6+\sqrt2}{4} =54+18\sqrt3\text{ см}^2. \]

Проверка: \(AB\approx14{,}7\) см, \(S_{ABC}\approx85{,}2\text{ см}^2\).