В равнобедренный прямоугольный треугольник вписан прямоугольник так что две его вершины находятся на гипотенузе а две другие на катетах , чему равны стороны прямоугольника если известно что они относятся как 5 ÷ 2 а гипотенуза треугольника равна 45
Ответ: стороны прямоугольника равны \(25\) и \(10\).
Пусть:
- \(x\) — сторона прямоугольника, параллельная гипотенузе;
- \(y\) — его высота.
Гипотенуза равнобедренного прямоугольного треугольника равна \(45\). Высота к гипотенузе делит её пополам, поэтому высота всего треугольника равна
\[ \frac{45}{2}=22{,}5. \]
Треугольник над прямоугольником подобен исходному. Его гипотенуза равна \(x\), значит его высота равна \(\frac{x}{2}\). Поэтому
\[ y+\frac{x}{2}=22{,}5, \]
или
\[ x+2y=45. \]
По условию стороны относятся как \(5:2\):
\[ x=5k,\qquad y=2k. \]
Подставим:
\[ 5k+2\cdot 2k=45, \]
\[ 9k=45,\qquad k=5. \]
Тогда
\[ x=5\cdot5=25,\qquad y=2\cdot5=10. \]
Проверка:
\[ 25:10=5:2,\qquad 25+2\cdot10=45. \]
Обсуждение
2 сообщенияСделай дано и сам треугольник что куда
Вот как можно оформить в тетради.
Схема
C
/ \
/ \
/ D───E\
/ │ │ \
/ │ │ \
A────F───G───B
- \(C\) — вершина прямого угла;
- \(AC\) и \(BC\) — катеты;
- \(AB\) — гипотенуза, \(AB=45\);
- \(D\in AC,\ E\in BC\);
- \(F,G\in AB\);
- \(DEGF\) — прямоугольник.
Причём:
\[ DE\parallel FG\parallel AB, \]
\[ DF\perp AB,\qquad EG\perp AB. \]
Обозначим:
\[ DE=FG=x,\qquad DF=EG=y. \]
В решении принимаем, что сторона, параллельная гипотенузе, относится к другой стороне как \(5:2\):
\[ x:y=5:2. \]
Решение
Проведём высоту \(CH\) к гипотенузе \(AB\). В равнобедренном прямоугольном треугольнике:
\[ CH=\frac{AB}{2}=\frac{45}{2}=22{,}5. \]
Треугольник \(CDE\) подобен треугольнику \(CAB\). Поэтому его высота равна:
\[ \frac{x}{2}. \]
Высота всего треугольника состоит из высоты прямоугольника и высоты треугольника \(CDE\):
\[ y+\frac{x}{2}=22{,}5. \]
Умножим на 2:
\[ x+2y=45. \]
Так как
\[ x:y=5:2, \]
то
\[ x=5k,\qquad y=2k. \]
Подставим:
\[ 5k+2\cdot2k=45, \]
\[ 9k=45,\qquad k=5. \]
Следовательно,
\[ x=5\cdot5=25, \]
\[ y=2\cdot5=10. \]
Ответ
\[ \boxed{DE=FG=25} \]
\[ \boxed{DF=EG=10} \]
То есть сторона прямоугольника, параллельная гипотенузе, равна \(25\), а другая сторона — \(10\).
