Дан прямоугольный параллелепипед ABCDA1B1C1D1. Проведите плоскость ABC1. Докажите, что точка О середина AD1 лежит в этой же плоскости.
Краткий ответ: плоскость \(ABC_1\) является плоскостью диагонального сечения \(ABC_1D_1\). Поэтому отрезок \(AD_1\) лежит в этой плоскости, а значит, и его середина \(O\) тоже лежит в ней.
Доказательство
В параллелепипеде:
\[ \overrightarrow{AD_1}=\overrightarrow{BC_1}, \qquad \overrightarrow{AB}=\overrightarrow{D_1C_1}. \]
Следовательно, четырёхугольник \(ABC_1D_1\) — параллелограмм. Значит, точки \(A,B,C_1,D_1\) лежат в одной плоскости. Так как плоскость через три точки \(A,B,C_1\) единственна, это и есть плоскость \(ABC_1\).
Точки \(A\) и \(D_1\) принадлежат этой плоскости, поэтому весь отрезок \(AD_1\) лежит в ней. Точка \(O\) — середина отрезка \(AD_1\), следовательно,
\[ \boxed{O\in (ABC_1)}. \]
Проверка через векторы:
\[ \overrightarrow{AO} =\frac12\overrightarrow{AD_1} =\frac12\left(\overrightarrow{AC_1}-\overrightarrow{AB}\right). \]
Вектор \(\overrightarrow{AO}\) выражается через направления, лежащие в плоскости \(ABC_1\), поэтому \(O\) принадлежит этой плоскости.
Обсуждение
2 сообщениядокажи с помощью аксиом стереометрии 10 класса и темы "параллельность прямых"
Пусть \(\alpha=(ABC_1)\) — плоскость, проходящая через точки \(A\), \(B\), \(C_1\). Она существует и единственна, так как эти точки не лежат на одной прямой.
1. Докажем, что \(D_1\in\alpha\)
В грани \(ABB_1A_1\):
\[ AB\parallel A_1B_1. \]
В грани \(A_1B_1C_1D_1\):
\[ A_1B_1\parallel C_1D_1. \]
Следовательно, по свойству параллельных прямых:
\[ AB\parallel C_1D_1. \]
При этом \(AB\subset\alpha\), а точка \(C_1\in\alpha\). Значит, через точку \(C_1\) проходит прямая \(C_1D_1\), параллельная прямой \(AB\), лежащей в плоскости \(\alpha\).
По теореме: если через точку плоскости провести прямую, параллельную прямой, лежащей в этой плоскости, то эта прямая лежит в данной плоскости. Поэтому
\[ C_1D_1\subset\alpha, \]
а значит,
\[ D_1\in\alpha. \]
Таким образом, плоскость \(\alpha\) — это плоскость диагонального сечения \(ABC_1D_1\).
2. Докажем, что \(O\in\alpha\)
Точки \(A\) и \(D_1\) принадлежат плоскости \(\alpha\). По аксиоме стереометрии, если две точки прямой принадлежат плоскости, то вся прямая принадлежит этой плоскости:
\[ AD_1\subset\alpha. \]
Так как \(O\) — середина отрезка \(AD_1\), то \(O\in AD_1\). Следовательно,
\[ \boxed{O\in(ABC_1)}. \]
