Реши задание на изображении

Краткий ответ: чтобы построить окружность, вписанную в треугольник \(ABC\), нужно найти точку пересечения биссектрис его углов. Эта точка будет центром окружности.

Построение

1. Дан треугольник \(ABC\).
2. Построй биссектрисы углов \(A\) и \(B\). Их точку пересечения обозначь \(O\).
3. Из точки \(O\) опусти перпендикуляр на сторону \(AB\). Точку пересечения обозначь \(D\).
4. Отрезок \(OD\) — радиус вписанной окружности: \[ r=OD. \]
5. С центром \(O\) и радиусом \(OD\) проведи окружность.
6. Опусти из \(O\) перпендикуляры на стороны \(BC\) и \(AC\). Пусть их основания — \(E\) и \(F\).

Отметь на чертеже:

\[ OD\perp AB,\qquad OE\perp BC,\qquad OF\perp AC, \]

\[ OD=OE=OF=r. \]

Точки \(D,E,F\) — точки касания окружности со сторонами треугольника.

Почему построение верное

Точка \(O\) лежит на биссектрисах углов треугольника, поэтому она равноудалена от всех его сторон. Значит,

\[ \operatorname{dist}(O,AB)=\operatorname{dist}(O,BC) =\operatorname{dist}(O,AC). \]

Поэтому окружность с центром \(O\) и радиусом \(r\) касается всех трёх сторон, то есть является вписанной.