Сделай номера 4-5 под буквой в и 10,12 тоже под буквой в с чертежом
Краткий ответ
- № 34.4, в): \(\boxed{x\in(-1;\,-\frac12)}\)
- № 34.5, в): \(\boxed{x\in(-\infty;\,-\frac13)\cup(\frac52;\,+\infty)}\)
- № 34.10, в): \(\boxed{x\in\mathbb R}\)
- № 34.12, в): \(\boxed{\varnothing}\)
№ 34.4, в)
\[ 2x^2+3x+1<0 \]
Разложим на множители:
\[ 2x^2+3x+1=(2x+1)(x+1) \]
Найдём нули:
\[ 2x+1=0 \Rightarrow x=-\frac12, \qquad x+1=0 \Rightarrow x=-1. \]
Коэффициент при \(x^2\) положительный, поэтому выражение отрицательно между корнями:
знак: + − +
────○══════○────
−1 −1/2
Так как неравенство строгое, точки не включаются:
\[ \boxed{x\in(-1;\,-\frac12)} \]
№ 34.5, в)
\[ -6x^2+13x+5<0 \]
Разложим:
\[ -6x^2+13x+5=-(3x+1)(2x-5) \]
Корни:
\[ 3x+1=0 \Rightarrow x=-\frac13, \qquad 2x-5=0 \Rightarrow x=\frac52. \]
Ветви параболы направлены вниз, поэтому выражение отрицательно вне корней:
знак: − + −
════○──────○════
−1/3 5/2
Корни не включаются:
\[ \boxed{x\in(-\infty;\,-\frac13)\cup(\frac52;\,+\infty)} \]
№ 34.10, в)
\[ x^2-16x+64\geqslant0 \]
Выделим квадрат:
\[ x^2-16x+64=(x-8)^2. \]
Квадрат любого числа неотрицателен:
\[ (x-8)^2\geqslant0 \]
для всех \(x\). Равенство достигается при \(x=8\), и оно подходит:
знак: + 0 +
═══════════●══════════
8
\[ \boxed{x\in\mathbb R} \]
№ 34.12, в)
\[ 7x^2-x+3\leqslant0 \]
Вычислим дискриминант:
\[ D=(-1)^2-4\cdot7\cdot3=1-84=-83<0. \]
Так как \(a=7>0\), парабола направлена вверх и не пересекает ось \(x\). Значит,
\[ 7x^2-x+3>0 \]
при любом \(x\), поэтому условие \(\leqslant0\) невыполнимо:
знак: + + +
─────────────────────
решений нет
\[ \boxed{x\in\varnothing} \]
Правило для похожих заданий
- Найди корни квадратного трёхчлена.
- Отметь их на числовой прямой.
- Если \(a>0\), знак «минус» будет между корнями, а «плюс» — снаружи.
- Если \(a<0\), наоборот.
- При \(\leqslant\) и \(\geqslant\) корни включаются, при \(<\) и \(>\) — нет.
Обсуждение
5 сообщенийРеши все эти задания только через дискриминант и с чертежом параболы
Решим № 4(в), 5(в), 10(в), 12(в) только через дискриминант. Разложение на множители и выделение квадрата не используем.
№ 4(в)
\[ 2x^2+3x+1<0 \]
\[ a=2,\quad b=3,\quad c=1 \]
Найдём дискриминант:
\[ D=b^2-4ac=3^2-4\cdot2\cdot1=9-8=1 \]
Так как \(D>0\), есть два корня:
\[ x_1=\frac{-b-\sqrt D}{2a} =\frac{-3-1}{4}=-1, \]
\[ x_2=\frac{-b+\sqrt D}{2a} =\frac{-3+1}{4}=-\frac12. \]
Так как \(a=2>0\), ветви параболы направлены вверх:
╱ ╲
╱ ╲
────────●───────────●──────→ x
-1 -1/2
╲_______╱
f(x) < 0
Меньше нуля парабола между корнями:
\[ \boxed{x\in\left(-1;-\frac12\right)} \]
№ 5(в)
\[ -6x^2+13x+5<0 \]
\[ a=-6,\quad b=13,\quad c=5 \]
\[ D=13^2-4\cdot(-6)\cdot5 =169+120=289 \]
\[ \sqrt D=17 \]
Корни:
\[ x_1=\frac{-13+17}{-12} =-\frac13, \]
\[ x_2=\frac{-13-17}{-12} =\frac52. \]
Так как \(a=-6<0\), ветви параболы направлены вниз:
╭────╮
╱ ╲
──────────●────────────●────→ x
-1/3 5/2
При ветвях вниз парабола меньше нуля слева от меньшего корня и справа от большего:
\[ \boxed{x\in\left(-\infty;-\frac13\right) \cup\left(\frac52;+\infty\right)} \]
№ 10(в)
\[ x^2-16x+64\geqslant0 \]
\[ a=1,\quad b=-16,\quad c=64 \]
\[ D=(-16)^2-4\cdot1\cdot64 =256-256=0 \]
При \(D=0\) парабола имеет один корень:
\[ x_0=\frac{-b}{2a} =\frac{16}{2}=8. \]
Так как \(a=1>0\), ветви направлены вверх, а парабола касается оси \(x\) в точке \(x=8\):
╱ ╲
╱ ╲
────────●──────────────→ x
8
Парабола не опускается ниже оси \(x\), поэтому выражение неотрицательно при любом \(x\):
\[ \boxed{x\in\mathbb R} \]
№ 12(в)
\[ 7x^2-x+3\leqslant0 \]
\[ a=7,\quad b=-1,\quad c=3 \]
\[ D=(-1)^2-4\cdot7\cdot3 =1-84=-83 \]
Так как \(D<0\), действительных корней нет. Поскольку \(a=7>0\), ветви параболы направлены вверх, и вся парабола расположена выше оси \(x\):
╭──╮
╱ ╲
╱ ╲
──────────────┼────────────→ x
корней нет
Следовательно,
\[ 7x^2-x+3>0 \]
при любом \(x\). Условие \(\leqslant0\) невыполнимо:
\[ \boxed{x\in\varnothing} \]
Ответы:
\[ \boxed{4(в):\ \left(-1;-\frac12\right)} \]
\[ \boxed{5(в):\ \left(-\infty;-\frac13\right) \cup\left(\frac52;+\infty\right)} \]
\[ \boxed{10(в):\ \mathbb R} \]
\[ \boxed{12(в):\ \varnothing} \]
Спасибо,но почему ты не можеш просто начертить параболу и показать мне хотя бы схематически
Начерти параболу
Да, конечно. Вот схематичные чертежи самих парабол для всех четырёх заданий. Рисунки не в масштабе; точки \(●\) — пересечения с осью \(x\).
№ 4(в)
\[ y=2x^2+3x+1,\qquad x_1=-1,\quad x_2=-\frac12 \]
Ветви направлены вверх:
y
↑
│ ╲ ╱
│ ╲ ╱
x ───────────────────────●─────────●────────→
-1 -1/2
╲ ╱
╲___╱
V(-3/4; -1/8)
Ниже оси \(x\) парабола находится между корнями:
\[ \boxed{x\in\left(-1;-\frac12\right)} \]
№ 5(в)
\[ y=-6x^2+13x+5,\qquad x_1=-\frac13,\quad x_2=\frac52 \]
Ветви направлены вниз:
y
↑
│ ╭────╮
│ ╱ ╲
│ ╱ ╲
x ───────────────────────●────────────────────●──→
-1/3 5/2
Ниже оси \(x\) парабола находится снаружи отрезка между корнями:
\[ \boxed{x\in\left(-\infty;-\frac13\right) \cup\left(\frac52;+\infty\right)} \]
№ 10(в)
\[ y=x^2-16x+64,\qquad x_0=8 \]
Парабола касается оси \(x\) в одной точке:
y
↑
│ ╲ ╱
│ ╲ ╱
x ───────────────────────┼────────────●────────→
8
Она нигде не опускается ниже оси \(x\):
\[ \boxed{x\in\mathbb R} \]
№ 12(в)
\[ y=7x^2-x+3 \]
Корней нет, ветви направлены вверх, вся парабола расположена выше оси \(x\):
y
↑
│ ╲ ╱
│ ╲_______╱
│ V
x ───────────────────────┼────────────────────→
Поэтому решений нет:
\[ \boxed{x\in\varnothing} \]
