Реши задание на изображении

Краткий ответ:

• 5а) да; 5б) нет.
• 6а) да; 6б) нет.
• 7а) да; 7б) нет.

Принцип

События \(A\) и \(B\) независимы, если

\[ P(A\cap B)=P(A)\cdot P(B). \]

---

5. Монету бросают два раза

а)

\(A\): в первый раз выпал орёл.
\(B\): во второй раз выпала решка.

\[ P(A)=\frac12,\qquad P(B)=\frac12. \]

Одновременное наступление событий имеет один исход: «орёл, решка»:

\[ P(A\cap B)=\frac14. \]

Проверка:

\[ P(A)P(B)=\frac12\cdot\frac12=\frac14. \]

Равенство выполняется, поэтому события независимы.

б)

\(A\): при первом броске выпал орёл.
\(B\): орёл выпал хотя бы один раз.

Если произошло событие \(A\), то событие \(B\) обязательно произойдёт. Поэтому

\[ P(A\cap B)=P(A)=\frac12. \]

Вероятность события \(B\):

\[ P(B)=1-P(\text{орёл не выпал ни разу}) =1-\frac14=\frac34. \]

\[ P(A)P(B)=\frac12\cdot\frac34=\frac38. \]

Так как

\[ \frac12\ne\frac38, \]

события зависимы.

---

6. Игральную кость бросают дважды

Всего возможно \(6\cdot6=36\) равновероятных исходов.

а)

\(A\): при первом броске выпала шестёрка.

\[ P(A)=\frac16. \]

\(B\): при втором броске выпало меньше трёх очков, то есть \(1\) или \(2\).

\[ P(B)=\frac26=\frac13. \]

Одновременное наступление событий:

\[ P(A\cap B)=\frac16\cdot\frac13=\frac1{18}. \]

Равенство выполняется, поэтому события независимы.

б)

\(A\): при первом броске выпало больше трёх очков, то есть \(4,5,6\).

\[ P(A)=\frac36=\frac12. \]

\(B\): сумма очков меньше \(9\). Подходящих исходов:

\[ 6+6+5+4+3+2=26, \]

поэтому

\[ P(B)=\frac{26}{36}=\frac{13}{18}. \]

Для события \(A\cap B\):

• если первый результат \(4\), второй может быть \(1,2,3,4\): \(4\) исхода;
• если первый результат \(5\): \(3\) исхода;
• если первый результат \(6\): \(2\) исхода.

Всего:

\[ 4+3+2=9, \qquad P(A\cap B)=\frac9{36}=\frac14. \]

Но

\[ P(A)P(B)=\frac12\cdot\frac{13}{18} =\frac{13}{36}. \]

Так как

\[ \frac14=\frac9{36}\ne\frac{13}{36}, \]

события зависимы.

---

7. Выбирают число от \(1\) до \(24\)

Всего \(24\) числа.

Событие \(C\): число чётное.

Чётных чисел \(12\), значит

\[ P(C)=\frac{12}{24}=\frac12. \]

а) Число делится на \(3\)

Таких чисел \(8\):

\[ 3,6,9,12,15,18,21,24. \]

\[ P(D)=\frac8{24}=\frac13. \]

Числа, которые одновременно чётные и делятся на \(3\), делятся на \(6\):

\[ 6,12,18,24. \]

\[ P(C\cap D)=\frac4{24}=\frac16. \]

Проверка:

\[ P(C)P(D)=\frac12\cdot\frac13=\frac16. \]

Следовательно, события независимы.

б) Число делится на \(7\)

Подходящие числа:

\[ 7,14,21, \]

поэтому

\[ P(D)=\frac3{24}=\frac18. \]

Одновременно чётным и делящимся на \(7\) является только число \(14\):

\[ P(C\cap D)=\frac1{24}. \]

Но

\[ P(C)P(D)=\frac12\cdot\frac18=\frac1{16}. \]

Так как

\[ \frac1{24}\ne\frac1{16}, \]

события зависимы.