Номер 70

Краткий ответ:

• а) \(\angle1=\angle3=70^\circ\), \(\angle2=\angle4=110^\circ\);
• б) \(\angle1=\angle3=45^\circ\), \(\angle2=\angle4=135^\circ\);
• в) \(\angle1=\angle3=75^\circ\), \(\angle2=\angle4=105^\circ\).

Обозначим

Вертикальные углы равны:

\[ \angle1=\angle3=x,\qquad \angle2=\angle4=y. \]

Смежные углы в сумме дают \(180^\circ\):

\[ x+y=180^\circ. \]

а)

\[ \angle2+\angle4=220^\circ \]

Так как \(\angle2=\angle4=y\), получаем:

\[ 2y=220^\circ,\qquad y=110^\circ. \]

Тогда:

\[ x=180^\circ-110^\circ=70^\circ. \]

б)

\[ 3(\angle1+\angle3)=\angle2+\angle4 \]

Подставим \(x\) и \(y\):

\[ 3(2x)=2y \quad\Rightarrow\quad 3x=y. \]

Вместе с \(x+y=180^\circ\):

\[ x+3x=180^\circ,\qquad x=45^\circ,\qquad y=135^\circ. \]

в)

\[ \angle2-\angle1=30^\circ \]

То есть:

\[ y-x=30^\circ. \]

Решаем систему:

\[ \begin{cases} x+y=180^\circ,\\ y-x=30^\circ. \end{cases} \]

Получаем:

\[ y=105^\circ,\qquad x=75^\circ. \]

Проверка: во всех случаях смежные углы в сумме дают \(180^\circ\).