Реши задание на изображении

Краткие ответы

8.

а) \(\boxed{(1;2)\cup(2;+\infty)}\)

б) \(\boxed{\left[-\frac74;+\infty\right)}\)

в) \(\boxed{\left(-\infty;-\frac58\right)}\)

9.

\[ \boxed{\left[-1;-\frac13\right]\cup\left\{\frac58\right\}} \]

10.

а) \(\boxed{\{-1\}\cup\left[\frac92;+\infty\right)}\)

б) \(\boxed{(-\infty;-2)\cup\left(-2;-\frac56\right)}\)

11.

а) \(\boxed{(6;9)}\)

б) \(\boxed{(-\infty;-8]\cup[-1;+\infty)}\)

в) \(\boxed{\{-5\}\cup[-3;5]}\)

г) \(\boxed{(-\infty;-8]\cup\{-4\}\cup[4;+\infty)}\)

д) \(\boxed{(-\infty;-4)\cup(-4;4)\cup(5;+\infty)}\)

---

Ключевые шаги

Правило

Множитель в чётной степени не меняет знак:

\[ (x-a)^{2n}\ge 0. \]

Но в точке \(x=a\) он равен нулю. Поэтому:

• при строгом неравенстве \(<0\) или \(>0\) такую точку исключаем;
• при нестрогом \(\le0\) или \(\ge0\) такую точку включаем.

Задание 8

а)

\[ (2x-4)^6(-7x+7)<0 \]

\[ (2x-4)^6=64(x-2)^6\ge0. \]

Линейный множитель отрицателен при \(x>1\). Точка \(x=2\) исключается, так как произведение равно нулю:

\[ x\in(1;2)\cup(2;+\infty). \]

б)

\[ (8x+7)^4(-4x-7)\le0. \]

При ненулевом первом множителе нужно:

\[ -4x-7\le0 \quad\Longrightarrow\quad x\ge-\frac74. \]

Точка \(x=-\frac78\), где первая скобка равна нулю, уже входит в этот промежуток.

в)

\[ (8x+4)^8(8x+5)<0. \]

Чётная степень положительна, кроме \(x=-\frac12\). Поэтому знак определяется выражением \(8x+5\):

\[ 8x+5<0 \Longrightarrow x<-\frac58. \]

Получаем:

\[ x\in\left(-\infty;-\frac58\right). \]

Задание 9

\[ (5-8x)^2(6x+2)^{11}(9+9x)^{13}\le0. \]

Нули нечётных множителей:

\[ 6x+2=0\Rightarrow x=-\frac13, \qquad 9+9x=0\Rightarrow x=-1. \]

Произведение нечётных степеней отрицательно между корнями:

\[ x\in\left[-1;-\frac13\right]. \]

Кроме того,

\[ (5-8x)^2=0\Rightarrow x=\frac58, \]

и эта точка тоже подходит, так как произведение равно нулю:

\[ x\in\left[-1;-\frac13\right]\cup\left\{\frac58\right\}. \]

Задание 10

а)

\[ (3x+3)(2x-9)(-8x-8) =-24(x+1)^2(2x-9). \]

При \(x\ne-1\):

\[ -24(2x-9)\le0 \Longrightarrow 2x-9\ge0 \Longrightarrow x\ge\frac92. \]

Точка \(x=-1\) добавляется отдельно:

\[ x\in\{-1\}\cup\left[\frac92;+\infty\right). \]

б)

\[ (-3x-6)(2x+4)(-6x-5) =6(x+2)^2(6x+5). \]

Для отрицательного произведения:

\[ 6x+5<0\Longrightarrow x<-\frac56. \]

Точку \(x=-2\) исключаем, поскольку произведение там равно нулю:

\[ x\in(-\infty;-2)\cup\left(-2;-\frac56\right). \]

Задание 11

а)

\[ \begin{aligned} &(x^2-3x-54)(36-x^2)\\ &=(x-9)(x+6)(6-x)(x+6)\\ &=(x+6)^2(x-9)(6-x). \end{aligned} \]

Знак положителен при:

\[ (x-9)(6-x)>0\Longrightarrow 6<x<9. \]

б)

\[ \begin{aligned} &(x^2-7x-8)(64-x^2)\\ &=(x-8)(x+1)(8-x)(8+x)\\ &=-(x-8)^2(x+1)(x+8). \end{aligned} \]

Нужно:

\[ (x+1)(x+8)\ge0. \]

Отсюда:

\[ x\le-8\quad\text{или}\quad x\ge-1. \]

в)

\[ \begin{aligned} &(x^2+8x+15)(25-x^2)\\ &=(x+3)(x+5)(5-x)(x+5)\\ &=(x+5)^2(x+3)(5-x). \end{aligned} \]

Основной промежуток:

\[ (x+3)(5-x)\ge0\Longrightarrow -3\le x\le5. \]

Также добавляется точка \(x=-5\), где квадратный множитель равен нулю.

г)

\[ \begin{aligned} &(x^2-16)(x^2+12x+32)\\ &=(x-4)(x+4)(x+4)(x+8)\\ &=(x+4)^2(x-4)(x+8). \end{aligned} \]

\[ (x-4)(x+8)\ge0 \Longrightarrow x\le-8\quad\text{или}\quad x\ge4. \]

Также добавляется точка \(x=-4\).

д)

\[ \begin{aligned} &(x^2-x-20)(16-x^2)\\ &=(x-5)(x+4)(4-x)(x+4)\\ &=(x+4)^2(x-5)(4-x). \end{aligned} \]

\[ (x-5)(4-x)<0 \Longrightarrow x<4\quad\text{или}\quad x>5. \]

Точку \(x=-4\) исключаем, потому что произведение равно нулю.

Проверка: во всех пунктах границы являются нулями множителей; точки с нулевым произведением включены только при \(\le\) или \(\ge\), а при строгих неравенствах исключены.