Реши задание на изображении

Краткий ответ:

1. \(2\)
2. \(1225\)
3. \(54\)
4. \(675\)
5. \(3\)
6. \(3\)

Решение

Используем свойства:

\[ \sqrt[n]{a}\cdot\sqrt[n]{b}=\sqrt[n]{ab}, \qquad \sqrt[n]{x^n}=x \quad (x\ge 0). \]

1. \[ \sqrt[4]{8}\cdot\sqrt[4]{2} =\sqrt[4]{16} =2. \]

2. \[ \sqrt[6]{5^{10}}\cdot\sqrt[6]{7^{12}\cdot5^2} =\sqrt[6]{5^{12}\cdot7^{12}} =\sqrt[6]{(35)^{12}} =35^2=1225. \]

3. Так как \(0{,}125=\frac18\), то

\[ \sqrt[3]{\frac{3^9}{0{,}125}} =\sqrt[3]{3^9\cdot8} =\sqrt[3]{3^9\cdot2^3} =\sqrt[3]{(3^3\cdot2)^3} =54. \]

4. \[ \sqrt[4]{3^{12}\cdot5^8} =\sqrt[4]{(3^3)^4(5^2)^4} =3^3\cdot5^2 =27\cdot25=675. \]

5. \[ \sqrt[5]{9}\cdot\sqrt[5]{27} =\sqrt[5]{9\cdot27} =\sqrt[5]{243} =\sqrt[5]{3^5} =3. \]

6. \[ \begin{aligned} &\sqrt[4]{10+\sqrt{19}}\cdot\sqrt[4]{10-\sqrt{19}}\\ &=\sqrt[4]{(10+\sqrt{19})(10-\sqrt{19})}\\ &=\sqrt[4]{10^2-(\sqrt{19})^2} =\sqrt[4]{100-19} =\sqrt[4]{81}=3. \end{aligned} \]

Проверка: \(2^4=16\), \(3^5=243\), \(3^4=81\), что совпадает с полученными подкоренными выражениями.