Реши задание на изображении

Краткий ответ:

1. \(\displaystyle D(f)=[2;5)\cup(5;+\infty)\).
2. \(\displaystyle D(f)=(-\infty;-7)\cup(-7;7)\cup(7;+\infty)\).
3. \(\displaystyle D(f)=(-3;3)\cup(3;+\infty)\).
4. \(\displaystyle D(f)=[0;1)\cup(1;6)\cup(6;+\infty)\).

Решение

Область определения ограничивают два условия:

• подкоренное выражение должно быть неотрицательным;
• знаменатель не должен быть равен нулю.

1)
\[ f(x)=\sqrt{x-2}+\frac{x+2}{x-5}. \]

\[ x-2\ge 0 \Rightarrow x\ge 2,\qquad x-5\ne0 \Rightarrow x\ne5. \]

Отсюда: \[ D(f)=[2;5)\cup(5;+\infty). \]

2)
\[ f(x)=\frac{x}{|x|-7}. \]

Знаменатель: \[ |x|-7\ne0 \Rightarrow |x|\ne7 \Rightarrow x\ne-7,\;x\ne7. \]

Значит: \[ D(f)=\mathbb R\setminus\{-7;7\}. \]

3)
\[ f(x)=\sqrt{x+3}+\frac1{x^2-9}. \]

\[ x+3\ge0 \Rightarrow x\ge-3, \] \[ x^2-9\ne0 \Rightarrow (x-3)(x+3)\ne0 \Rightarrow x\ne3,\;x\ne-3. \]

С учётом \(x\ge-3\): \[ D(f)=(-3;3)\cup(3;+\infty). \]

4)
\[ f(x)=\frac{\sqrt{x}-4}{\sqrt{x}+2} +\frac{4x-3}{x^2-7x+6}. \]

\[ x\ge0. \]

При \(x\ge0\) знаменатель \(\sqrt{x}+2>0\), поэтому он не обращается в ноль.

Разложим второй знаменатель: \[ x^2-7x+6=(x-1)(x-6). \]

Следовательно: \[ x\ne1,\qquad x\ne6. \]

Итак: \[ D(f)=[0;1)\cup(1;6)\cup(6;+\infty). \]

Проверка: исключённые точки — это значения, при которых получается отрицательное выражение под корнем или нулевой знаменатель.