Номер 964

Это продолжение задания № 964: ты прислал изображение, которое я просил для решения.

В задании нужно начертить два неколлинеарных вектора \(\vec x\) и \(\vec y\), а затем построить их линейные комбинации. Используй правило треугольника или параллелограмма:

• положительный множитель сохраняет направление;
• отрицательный меняет направление;
• \(\frac12\vec x\) — вектор в том же направлении, но вдвое короче;
• \(0\vec y=\vec 0\).

Построй:

\[ \begin{aligned} \text{а)}\;&\vec x+2\vec y;\\ \text{б)}\;&\frac12\vec x+\vec y;\\ \text{в)}\;&3\vec x+\frac12\vec y;\\ \text{г)}\;&\frac12\vec x-3\vec y =\frac12\vec x+(-3\vec y);\\ \text{д)}\;&\vec x+4\vec y;\\ \text{е)}\;&-2\vec x+0\vec y=-2\vec x. \end{aligned} \]

Для каждого пункта сначала отложи от одной точки соответствующие слагаемые, затем проведи результирующий вектор от начала первого к концу последнего. В пункте е) достаточно построить вектор, противоположный \(2\vec x\).

Если требуется вторая часть задания, для двух коллинеарных векторов выполняются те же действия, но все построенные векторы лежат на одной прямой.

Главное о векторах

Вектор имеет направление и длину. Обозначают: \(\vec a\), \(\vec b\).

1. Сложение векторов

Чтобы построить \(\vec a+\vec b\):

• перенеси начало \(\vec b\) в конец \(\vec a\);
• проведи вектор от начала \(\vec a\) до конца перенесённого \(\vec b\).

Это правило треугольника.

\[ \vec a+\vec b=\vec b+\vec a \]

По координатам:

\[ (x_1;y_1)+(x_2;y_2)=(x_1+x_2;\,y_1+y_2) \]

2. Вычитание векторов

Вычитание заменяют сложением с противоположным вектором:

\[ \vec a-\vec b=\vec a+(-\vec b) \]

Вектор \(-\vec b\) имеет ту же длину, что и \(\vec b\), но противоположное направление.

По координатам:

\[ (x_1;y_1)-(x_2;y_2)=(x_1-x_2;\,y_1-y_2) \]

3. Умножение вектора на число

При умножении \(\vec a\) на число \(k\):

\[ k\vec a \]

• если \(k>0\), направление сохраняется;
• если \(k<0\), направление меняется на противоположное;
• если \(k=0\), получается нулевой вектор;
• длина умножается на \(|k|\):

\[ |k\vec a|=|k|\cdot|\vec a| \]

По координатам:

\[ k(x;y)=(kx;ky) \]

Например:

\[ -2\vec a \]

— это вектор в противоположном направлении, в 2 раза длиннее.

Как решать выражения

Сначала умножают векторы на числа, затем складывают или вычитают:

\[ \frac12\vec a-3\vec b = \frac12\vec a+(-3\vec b) \]

То есть строят \(\frac12\vec a\), затем вектор \(-3\vec b\), а потом складывают их.