Реши задание на изображении

Краткий ответ: \[ \sin\alpha=-\frac{4\sqrt{17}}{21},\qquad \tg\alpha=\frac{4\sqrt{17}}{13}. \]

Так как \[ \pi<\alpha<\frac{3\pi}{2}, \] угол \(\alpha\) находится в III четверти, поэтому \(\sin\alpha<0\), а \(\tg\alpha>0\).

Используем основное тригонометрическое тождество: \[ \sin^2\alpha+\cos^2\alpha=1. \]

Подставим \(\cos\alpha=-\frac{13}{21}\): \[ \sin^2\alpha=1-\left(-\frac{13}{21}\right)^2 =1-\frac{169}{441} =\frac{272}{441}. \]

Следовательно, \[ \sin\alpha=-\sqrt{\frac{272}{441}} =-\frac{4\sqrt{17}}{21}. \]

Теперь найдём тангенс: \[ \tg\alpha=\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha} =\frac{-\frac{4\sqrt{17}}{21}}{-\frac{13}{21}} =\frac{4\sqrt{17}}{13}. \]

Проверка: \[ \left(-\frac{4\sqrt{17}}{21}\right)^2+ \left(-\frac{13}{21}\right)^2 =\frac{272+169}{441}=1. \]

Ответ: \[ \sin\alpha=-\frac{4\sqrt{17}}{21},\qquad \tg\alpha=\frac{4\sqrt{17}}{13}. \]

Так как \[ \pi<\alpha<\frac{3\pi}{2}, \] угол находится в III четверти. Поэтому \(\sin\alpha<0\), \(\cos\alpha<0\), а \(\tg\alpha>0\).

Дано: \[ \cos\alpha=-\frac{13}{21}. \]

По основному тригонометрическому тождеству: \[ \sin^2\alpha+\cos^2\alpha=1. \]

Тогда \[ \sin^2\alpha=1-\left(-\frac{13}{21}\right)^2 =1-\frac{169}{441} =\frac{272}{441}. \]

С учётом знака в III четверти: \[ \sin\alpha=-\sqrt{\frac{272}{441}} =-\frac{4\sqrt{17}}{21}. \]

Теперь: \[ \tg\alpha=\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha} =\frac{-\frac{4\sqrt{17}}{21}}{-\frac{13}{21}} =\frac{4\sqrt{17}}{13}. \]

Проверка: \[ \left(-\frac{4\sqrt{17}}{21}\right)^2+ \left(-\frac{13}{21}\right)^2 =\frac{272+169}{441}=1. \]