Объясни тему по алгебре квадратный корень из произведения и дроби

Кратко:

Если \(a\ge 0\) и \(b\ge 0\), то

\[ \sqrt{ab}=\sqrt a\cdot\sqrt b. \]

Если \(a\ge 0\), а \(b>0\), то

\[ \sqrt{\frac ab}=\frac{\sqrt a}{\sqrt b}. \]

Квадратный корень всегда обозначает неотрицательное число.

1. Корень из произведения

Чтобы упростить корень, разложи число на множители, среди которых есть полный квадрат:

\[ \sqrt{75}=\sqrt{25\cdot3}=\sqrt{25}\cdot\sqrt3=5\sqrt3. \]

Ещё пример:

\[ \sqrt{6\cdot24}=\sqrt{144}=12. \]

2. Корень из дроби

Можно извлечь корень из числителя и знаменателя отдельно:

\[ \sqrt{\frac{18}{50}} =\frac{\sqrt{18}}{\sqrt{50}} =\sqrt{\frac{9}{25}} =\frac35. \]

Или сначала сократить дробь:

\[ \sqrt{\frac{18}{50}} =\sqrt{\frac{9}{25}} =\frac{\sqrt9}{\sqrt{25}} =\frac35. \]

Почему эти правила верны?

Например,

\[ (\sqrt a\cdot\sqrt b)^2=a\cdot b=ab. \]

Значит, \(\sqrt a\cdot\sqrt b\) — это квадратный корень из \(ab\).

Важно не ошибаться

Правила нельзя применять к сумме и разности:

\[ \sqrt{a+b}\ne\sqrt a+\sqrt b. \]

Также

\[ \sqrt{x^2}=|x|, \]

а не всегда \(x\). Например, если \(x=-4\), то

\[ \sqrt{x^2}=\sqrt{16}=4=|{-4}|. \]

Проверка результата: возведи ответ в квадрат. Например,

\[ (5\sqrt3)^2=25\cdot3=75, \]

значит, \(\sqrt{75}=5\sqrt3\) верно.