Реши

Решим задания из варианта II. В №1 читаю выражение как \(\sqrt{\frac{2}{3}x}\).

1) \(\displaystyle 16-\sqrt{\frac{2}{3}x}=12\)

\[ \sqrt{\frac{2}{3}x}=4 \]

Возведём в квадрат:

\[ \frac{2x}{3}=16 \]

\[ x=24. \]

Ответ: \(\boxed{24}\).

---

2) \(\displaystyle 1+x=\sqrt{1+x\sqrt{x^2+12}}\)

Возведём обе части в квадрат:

\[ (1+x)^2=1+x\sqrt{x^2+12} \]

\[ x^2+2x=x\sqrt{x^2+12} \]

\[ x\left(x+2-\sqrt{x^2+12}\right)=0. \]

Отсюда:

\[ x=0 \]

или

\[ \sqrt{x^2+12}=x+2. \]

Возводим в квадрат:

\[ x^2+12=(x+2)^2 \]

\[ x^2+12=x^2+4x+4 \]

\[ x=2. \]

Проверка показывает, что оба значения подходят.

Ответ: \(\boxed{x=0;\ 2}\).

---

3) \(\displaystyle \sqrt{x+12}=\sqrt{7x+8}-2\)

Перенесём \(2\):

\[ \sqrt{7x+8}=\sqrt{x+12}+2. \]

Возведём в квадрат:

\[ 7x+8=x+12+4\sqrt{x+12}+4 \]

\[ 3x-4=2\sqrt{x+12}. \]

Снова возведём в квадрат:

\[ (3x-4)^2=4(x+12) \]

\[ 9x^2-24x+16=4x+48 \]

\[ 9x^2-28x-32=0. \]

\[ x_1=4,\qquad x_2=-\frac89. \]

Проверка:

• \(x=4\) подходит;
• \(x=-\frac89\) — посторонний корень.

Ответ: \(\boxed{4}\).

---

4) \(\displaystyle \sqrt{9-x}=3\)

Возведём в квадрат:

\[ 9-x=9 \]

\[ x=0. \]

Ответ: \(\boxed{0}\).

Итог:

\[ \boxed{1)\ 24;\qquad 2)\ 0,\ 2;\qquad 3)\ 4;\qquad 4)\ 0.} \]

На фото читаю уравнения:

5) \(\sqrt{x+3}+\sqrt{3x-3}=10\)

ОДЗ:

\[ x\ge 1. \]

Возведём в квадрат:

\[ x+3+3x-3+2\sqrt{(x+3)(3x-3)}=100, \]

\[ \sqrt{3(x+3)(x-1)}=50-2x. \]

Снова возведём в квадрат:

\[ 3(x+3)(x-1)=4(25-x)^2. \]

\[ 3x^2+6x-9=4x^2-200x+2500, \]

\[ x^2-206x+2509=0. \]

\[ x_1=13,\qquad x_2=193. \]

Проверка:

\[ \sqrt{13+3}+\sqrt{39-3}=4+6=10. \]

Корень \(x=193\) — посторонний.

\[ \boxed{x=13} \]

---

6) \(\sqrt{3x-1}=3\)

\[ 3x-1=9, \]

\[ 3x=10, \]

\[ \boxed{x=\frac{10}{3}}. \]

Ответ:

\[ \boxed{5)\ x=13;\qquad 6)\ x=\frac{10}{3}.} \]

На фото пример 4:

\[ \sqrt{x-1}=2 \]

Возведём обе части в квадрат:

\[ x-1=4, \]

\[ x=5. \]

Проверка:

\[ \sqrt{5-1}=\sqrt4=2. \]

Ответ: \(\boxed{x=5}\).

Да, тогда уравнение:

\[ \sqrt{x-1}=3. \]

Возведём обе части в квадрат:

\[ x-1=9, \]

\[ x=10. \]

Проверка: \(\sqrt{10-1}=\sqrt9=3\).

Ответ: \(\boxed{x=10}\).

Уравнение №2:

\[ 1+x=\sqrt{1+x\sqrt{x^2+12}}. \]

1. Возведём обе части в квадрат

Правая часть неотрицательна, значит для решений должно быть \(1+x\ge 0\). Тогда:

\[ (1+x)^2=1+x\sqrt{x^2+12}. \]

Раскроем скобки:

\[ 1+2x+x^2=1+x\sqrt{x^2+12}. \]

\[ x^2+2x=x\sqrt{x^2+12}. \]

Перенесём всё в левую часть и вынесем \(x\):

\[ x\left(x+2-\sqrt{x^2+12}\right)=0. \]

Отсюда два случая.

2. Первый случай

\[ x=0. \]

3. Второй случай

\[ x+2-\sqrt{x^2+12}=0, \]

\[ \sqrt{x^2+12}=x+2. \]

Возводим в квадрат:

\[ x^2+12=(x+2)^2, \]

\[ x^2+12=x^2+4x+4, \]

\[ 4x=8, \]

\[ x=2. \]

4. Проверка

При \(x=0\):

\[ 1+0=\sqrt{1+0\cdot\sqrt{0^2+12}}, \]

\[ 1=\sqrt1=1. \]

Корень подходит.

При \(x=2\):

\[ 1+2=\sqrt{1+2\sqrt{2^2+12}}, \]

\[ 3=\sqrt{1+2\sqrt{16}} =\sqrt{1+2\cdot4} =\sqrt9=3. \]

Корень тоже подходит.

\[ \boxed{x=0\ \text{или}\ x=2} \]

Уравнение 4

\[ \sqrt{x-1}=3 \]

1. ОДЗ

Подкоренное выражение должно быть неотрицательным:

\[ x-1\ge 0 \quad\Rightarrow\quad x\ge 1. \]

2. Решение

Возведём обе части в квадрат:

\[ (\sqrt{x-1})^2=3^2, \]

\[ x-1=9, \]

\[ x=10. \]

3. Проверка

\[ \sqrt{10-1}=\sqrt9=3. \]

Равенство верно.

\[ \boxed{x=10} \]

По фото уравнение читается так:

\[ x+2=\sqrt{1+x\sqrt{36+x^2}}. \]

1. Первое возведение в квадрат

Правая часть неотрицательна, поэтому \(x+2\ge 0\).

\[ (x+2)^2=1+x\sqrt{x^2+36}, \]

\[ x^2+4x+3=x\sqrt{x^2+36}. \]

Если \(x\le -1\), выражение \(1+x\sqrt{x^2+36}<0\), поэтому такие \(x\) не подходят.
При \(-1<x<0\) левая часть \((x+1)(x+3)>0\), а правая часть отрицательна. Значит, остаётся:

\[ x\ge 0. \]

2. Второе возведение в квадрат

\[ (x^2+4x+3)^2=x^2(x^2+36). \]

Раскроем скобки:

\[ x^4+8x^3+22x^2+24x+9=x^4+36x^2, \]

\[ 8x^3-14x^2+24x+9=0. \]

Но при \(x\ge0\):

\[ 8x^3-14x^2+24x+9 =2x(2x-3)^2+10x^2+6x+9>0. \]

Полученное равенство невозможно.

Ответ

\[ \boxed{\text{действительных решений нет}} \]

Проверка показывает, что подходящих значений \(x\) не существует.

Тогда уравнение имеет вид:

\[ x+2=\sqrt{4+x\sqrt{x^2+36}}. \]

Возведём обе части в квадрат:

\[ (x+2)^2=4+x\sqrt{x^2+36}, \]

\[ x^2+4x=x\sqrt{x^2+36}, \]

\[ x\left(x+4-\sqrt{x^2+36}\right)=0. \]

Отсюда:

1) \(x=0\)

Проверка:

\[ 0+2=\sqrt{4+0\cdot\sqrt{36}}=2. \]

Подходит.

2) \(\sqrt{x^2+36}=x+4\)

Возводим в квадрат:

\[ x^2+36=(x+4)^2, \]

\[ x^2+36=x^2+8x+16, \]

\[ 8x=20, \]

\[ x=\frac52. \]

Проверка:

\[ \frac52+2=\frac92, \]

\[ \sqrt{4+\frac52\sqrt{\frac{25}{4}+36}} =\sqrt{4+\frac52\cdot\frac{13}{2}} =\sqrt{\frac{81}{4}} =\frac92. \]

Оба корня подходят:

\[ \boxed{x=0;\ \frac52}. \]

На фото уравнение:

\[ \sqrt3+\sqrt{3+x}=3. \]

ОДЗ:

\[ 3+x\ge 0 \quad\Rightarrow\quad x\ge -3. \]

Перенесём \(\sqrt3\):

\[ \sqrt{3+x}=3-\sqrt3. \]

Возведём в квадрат:

\[ 3+x=(3-\sqrt3)^2=12-6\sqrt3. \]

\[ x=9-6\sqrt3. \]

Проверка

\[ \sqrt{3+x} =\sqrt{12-6\sqrt3} =3-\sqrt3, \]

поэтому

\[ \sqrt3+(3-\sqrt3)=3. \]

Ответ:

\[ \boxed{x=9-6\sqrt3}. \]

На фото уравнение:

\[ \sqrt5+\sqrt{3+x}=3. \]

ОДЗ:

\[ 3+x\ge 0 \quad\Rightarrow\quad x\ge -3. \]

Перенесём \(\sqrt5\):

\[ \sqrt{3+x}=3-\sqrt5. \]

Возведём обе части в квадрат:

\[ 3+x=(3-\sqrt5)^2=9-6\sqrt5+5=14-6\sqrt5. \]

\[ x=11-6\sqrt5. \]

Проверка

\[ \sqrt{3+x} =\sqrt{14-6\sqrt5} =\sqrt{(3-\sqrt5)^2} =3-\sqrt5, \]

так как \(3-\sqrt5>0\). Тогда:

\[ \sqrt5+(3-\sqrt5)=3. \]

Ответ:

\[ \boxed{x=11-6\sqrt5}. \]

По фото уравнение:

\[ \sqrt{5+\sqrt{3+x}}=3. \]

Возведём обе части в квадрат:

\[ 5+\sqrt{3+x}=9, \]

\[ \sqrt{3+x}=4. \]

Снова возведём в квадрат:

\[ 3+x=16, \]

\[ x=13. \]

Проверка:

\[ \sqrt{5+\sqrt{3+13}} =\sqrt{5+\sqrt{16}} =\sqrt{5+4} =\sqrt9=3. \]

Ответ: \(\boxed{x=13}\).

Да, всё выражение слева находится под корнем:

\[ \sqrt{5+\sqrt{3+x}}=3. \]

Возведём обе части в квадрат:

\[ 5+\sqrt{3+x}=9, \]

\[ \sqrt{3+x}=4. \]

Ещё раз возведём в квадрат:

\[ 3+x=16, \]

\[ x=13. \]

Проверка:

\[ \sqrt{5+\sqrt{3+13}} =\sqrt{5+\sqrt{16}} =\sqrt{9}=3. \]

\[ \boxed{x=13} \]